Determine, caso existam, todas as funcoes da forma y=f(x), x=g(y), onde o par ordenado (x, y) satisfaz a relacao
(ii) (x-1)^29-(y-2)^24=1
Em cada caso encontre o dominio das funcoes encontradas.

Passo 1

O enunciado dá a relação de uma hipérbole centrada em (1,2) com eixos paralelos aos eixos coordenados,
(x-1)^29-(y-2)^24=1,
e pede duas parametrizações invertendo a dependência: y=f(x) e x=g(y). Para isso vamos isolar y em função de x e depois x em função de y), verificando os domínios onde cada expressão faz sentido.

Passo 2

Isolando (y-2)^2 a partir da equação original, temos
(y-2)^24 ;=;(x-1)^29-1 Longrightarrow (y-2)^2=4l((x-1)^29-1r)
Tomando raiz quadrada em ambos os lados, obtemos os dois ramos
y-2=pm,2raiz(x-1)^29-1 ;=;pm23,raiz(x-1)^2-9
Logo as funções y=f(x) são
boxedy=2pm23raiz(x-1)^2-9

Passo 3

Para que raiz(x-1)^2-9 seja real, precisamos
(x-1)^2-9>=0 Long<=ftrightarrow (x-1)^2>=9 Long<=ftrightarrow x-1>=3;ou;x-1<=-3
ou seja
x>=4ou x<= -2
Portanto o domínio comum das duas funções y=2pm23raiz(x-1)^2-9 é
boxed(-infty,-2];cup;[4,infty)

Passo 4

Agora isolamos (x-1)^2 para expressar x em função de y. Da equação original,
(x-1)^29 =1+(y-2)^24 Longrightarrow (x-1)^2 =9l(1+(y-2)^24r)
Tirando raiz, vêm os dois ramos
x-1=pm3raiz1+(y-2)^24 Longrightarrow boxedx=1pm3raiz1+(y-2)^24

Passo 5

O argumento da raiz ,1+(y-2)^24 é sempre >=1 para todo yinR. Logo não há restrição adicional em y. Assim o domínio das funções
x=1pm3raiz1+(y-2)^24
é
boxed(-infty,infty)

Resposta

As funções y=f(x) e seus domínios são
y1(x)=2+23raiz(x-1)^2-9, y2(x)=2-23raiz(x-1)^2-9,
com domínio (-infty,-2]cup[4,infty).
As funções x=g(y) e seus domínios são
x1(y)=1+3raiz1+tfrac(y-2)^24, x2(y)=1-3raiz1+tfrac(y-2)^24,
com domínio (-infty,infty).

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