Exercício 04 Demonstre que o diferencial total
calculado no exercício anterior é um diferencial inexato via integração por dois caminhos distintos no domínio (P,T) isto é,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o diferencial total
é um diferencial inexato. Isso significa que, quando a gente integra
ao longo de diferentes caminhos no espaço de pressão § e temperatura (T), o resultado pode mudar dependendo do caminho que a gente escolhe. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são diferenciais exatos e inexatos e como calcular integrais ao longo de caminhos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um diferencial exato e um diferencial inexato. Um diferencial exato é aquele que pode ser integrado de forma que o resultado só dependa dos pontos inicial e final, não do caminho seguido entre eles. Já um diferencial inexato depende do caminho escolhido para a integração, ou seja, resultados diferentes podem ser obtidos se você seguir caminhos diferentes.
No nosso caso, queremos provar que
é um diferencial inexato. Para isso, vamos integrar essa expressão ao longo de dois caminhos diferentes no espaço (P, T) e mostrar que os resultados das integrações são distintos.
Passo 3
Vamos considerar o caminho 1:
.
Primeiro, precisamos expressar
em termos de
e
. Usando a equação de estado dos gases ideais
, onde
é a quantidade de substância e
é a constante dos gases, podemos derivar
em relação a
e
:
Agora, dividindo
por
:
Vamos integrar isso ao longo do caminho 1.
Passo 4
Primeiro, vamos integrar de
para
mantendo
constante:
Em seguida, de
para
mantendo
constante:
Somando as duas integrais, o resultado total do caminho 1 é:
Passo 5
Agora, vamos considerar o caminho 2:
.
Primeiro, de
para
mantendo
constante:
Em seguida, de
para
mantendo
constante:
Somando as duas integrais, o resultado total do caminho 2 é:
Resposta
Comparando os resultados dos dois caminhos:
- Caminho 1:
- Caminho 2:
Observamos que os termos envolvendo o logaritmo têm denominadores diferentes (
no caminho 1 e
no caminho 2), o que faz com que os valores das integrações sejam distintos. Portanto,
é um diferencial inexato, já que o resultado da integração depende do caminho escolhido.