Exercício 04 Demonstre que o diferencial total d VT calculado no exercício anterior é um diferencial inexato via integração por dois caminhos distintos no domínio (P,T) isto é,
l caminho 1=(P 1, T 1) (P 1, T 2) (P 2, T 2) ; caminho 2=(P 1, T 1) (P 2, T 1) (P 2, T 2) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o diferencial total dVT é um diferencial inexato. Isso significa que, quando a gente integra dVT ao longo de diferentes caminhos no espaço de pressão § e temperatura (T), o resultado pode mudar dependendo do caminho que a gente escolhe. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são diferenciais exatos e inexatos e como calcular integrais ao longo de caminhos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um diferencial exato e um diferencial inexato. Um diferencial exato é aquele que pode ser integrado de forma que o resultado só dependa dos pontos inicial e final, não do caminho seguido entre eles. Já um diferencial inexato depende do caminho escolhido para a integração, ou seja, resultados diferentes podem ser obtidos se você seguir caminhos diferentes.
No nosso caso, queremos provar que dVT é um diferencial inexato. Para isso, vamos integrar essa expressão ao longo de dois caminhos diferentes no espaço (P, T) e mostrar que os resultados das integrações são distintos.

Passo 3

Vamos considerar o caminho 1: (P1, T1) (P1, T2) (P2, T2).
Primeiro, precisamos expressar dV em termos de P e T. Usando a equação de estado dos gases ideais PV = nRT, onde n é a quantidade de substância e R é a constante dos gases, podemos derivar V em relação a P e T:
V = nRTP dV = nRP dT - nRTP^2 dP
Agora, dividindo dV por T:
dVT = nRPT dT - nRP^2 dP
Vamos integrar isso ao longo do caminho 1.

Passo 4

Primeiro, vamos integrar de (P1, T1) para (P1, T2) mantendo P constante:
integralT1^T2 nRP1 T dT = nRP1 ln(T2T1)
Em seguida, de (P1, T2) para (P2, T2) mantendo T constante:
integralP1^P2 -nRP^2 dP = nR (1P1 - 1P2)
Somando as duas integrais, o resultado total do caminho 1 é:
nRP1 ln(T2T1) + nR (1P1 - 1P2)

Passo 5

Agora, vamos considerar o caminho 2: (P1, T1) (P2, T1) (P2, T2).
Primeiro, de (P1, T1) para (P2, T1) mantendo T constante:
integralP1^P2 -nRP^2 dP = nR (1P1 - 1P2)
Em seguida, de (P2, T1) para (P2, T2) mantendo P constante:
integralT1^T2 nRP2 T dT = nRP2 ln(T2T1)
Somando as duas integrais, o resultado total do caminho 2 é:
nR (1P1 - 1P2) + nRP2 ln(T2T1)

Resposta

Comparando os resultados dos dois caminhos:
  • Caminho 1: nRP1 ln(T2T1) + nR (1P1 - 1P2)
  • Caminho 2: nR (1P1 - 1P2) + nRP2 ln(T2T1)
Observamos que os termos envolvendo o logaritmo têm denominadores diferentes ( P1 no caminho 1 e P2 no caminho 2), o que faz com que os valores das integrações sejam distintos. Portanto, dVT é um diferencial inexato, já que o resultado da integração depende do caminho escolhido.

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