Determine o centro e o raio da circunferência de equação:
x^2+y^2+16 x-8 y-64=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. A gente tem a equação de uma circunferência:
x^2 + y^2 + 16x - 8y - 64 = 0
O objetivo é encontrar o centro e o raio dessa circunferência. Para isso, vamos usar o método de completar o quadrado para reescrever a equação na forma padrão da circunferência.

Passo 2

A forma geral da equação da circunferência é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
onde (h, k) é o centro e r é o raio. Vamos transformar nossa equação para essa forma completando o quadrado nos termos de x e y.

Passo 3

Vamos reescrever a equação agrupando os termos de x e de y:
x^2 + 16x + y^2 - 8y = 64

Passo 4

Agora, completamos o quadrado para o termo de x. Pegamos o coeficiente de x, que é 16, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(162)^2 = 64
Fazemos o mesmo para o termo de y. O coeficiente de y é -8:
(-82)^2 = 16

Passo 5

Adicionamos esses valores aos dois lados da equação para completar o quadrado:
x^2 + 16x + 64 + y^2 - 8y + 16 = 64 + 64 + 16
Simplificando:
x^2 + 16x + 64 + y^2 - 8y + 16 = 144

Passo 6

Agora, reescrevemos os termos como quadrados perfeitos:
(x + 8)^2 + (y - 4)^2 = 144

Passo 7

Comparando com a forma padrão (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, identificamos:
  • Centro (h, k) = (-8, 4)
  • Raio r = raiz144 = 12

Resposta

O centro da circunferência é (-8, , 4) e o raio é 12.

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