Determine o centro e o raio da circunferência de equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro e o raio da circunferência dada pela equação:
Para isso, vamos usar o conteúdo de Geometria Analítica, especificamente a equação geral da circunferência. A gente vai precisar completar o quadrado para transformar a equação na forma padrão da circunferência, que facilita identificar o centro e o raio.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de
e
:
Aqui, temos
e
. Observe que não tem termo em
, o que significa que o coeficiente de
é zero.
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para o termo em
. Completar o quadrado é uma técnica que transforma uma expressão quadrática em um quadrado perfeito, facilitando a identificação do centro da circunferência.
Para o termo
, seguimos estes passos:
- Pegamos o coeficiente de
, que é , e dividimos por 2: . - Elevamos esse resultado ao quadrado:
. - Adicionamos esse valor à equação, mas como fazemos isso no lado esquerdo, também precisamos adicionar ao lado direito para manter a igualdade.
Então, a equação fica:
Simplificando o lado direito:
Passo 4
Agora, podemos reescrever a parte de
como um quadrado perfeito e manter o termo de
separado:
Aqui,
representa o quadrado perfeito que obtivemos ao completar o quadrado para
.
Passo 5
Comparando essa equação com a forma padrão da circunferência, que é:
Podemos identificar:
-
-
(já que não há termo em ) -
Passo 6
Agora, vamos encontrar o raio
:
Resposta
Portanto, o centro da circunferência é
e o raio é
.