Determine (a) as componentes x, y e z da força de 750 N , (b) os ângulos \theta \mathrm{x}, \theta y e \theta z que a força forma com os eixos coordenados. Determine (c) as componentes x, y e z da força de 900 N , (d) os ângulos \theta \mathrm{x}, \theta \mathrm{y} e \theta \mathrm{z} que a força forma com os eixos coordenados.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas:
  • (a) as componentes x,y,z da força de 750\\ \mathrm{N};
  • (b) os ângulos \theta_x,\theta_y,\theta_z que essa força faz com os eixos coordenados;
  • (c) as componentes x,y,z da força de 900\\ \mathrm{N};
  • (d) os ângulos \theta_x,\theta_y,\theta_z correspondentes à força de 900\\ \mathrm{N}.
Informações que o enunciado fornece explicitamente:
  • O valor da magnitude (módulo) das forças: 750\\ \mathrm{N} e 900\\ \mathrm{N}.
Informação que falta (essencial para obter as componentes e os ângulos):
  • Não foi dada a direção de cada força. Ou seja, não há nem ângulos \theta_x,\theta_y,\theta_z iniciais, nem um vetor diretor, nem razões/projeções (por exemplo, proporção entre componentes). Sem essa informação de direção não é possível calcular numericamente as componentes nem os ângulos.
Conclusão imediata: com apenas as magnitudes 750\\ \mathrm{N} e 900\\ \mathrm{N} não é possível determinar numericamente as componentes ou os ângulos. A seguir eu explico, passo a passo, como se resolve o problema caso a direção seja fornecida (assim você faz na prova) e dou exemplos ilustrativos.

Passo 2

Conceitos e fórmulas básicas (a “aula rápida” que você pediu).
  • Representação da força como vetor: seja a força \mathbf{F} com componentes
\mathbf{F} = (F_x,\,F_y,\,F_z).
Aqui F_x é a componente da força na direção do eixo x, F_y na direção do eixo y e F_z na direção do eixo z.
  • Módulo (magnitude) da força:
F = \lVert \mathbf{F}\rVert = \sqrt{F_x^{2}+F_y^{2}+F_z^{2}}.
  • Definição das direções (cosenos diretores): os ângulos \theta_x,\theta_y,\theta_z são os ângulos entre \mathbf{F} e os eixos x,y,z. Eles satisfazem
\cos\theta_x=\frac{F_x}{F},\qquad \cos\theta_y=\frac{F_y}{F},\qquad \cos\theta_z=\frac{F_z}{F}.
Isto significa que, conhecendo o módulo F e os ângulos \theta_x,\theta_y,\theta_z, as componentes são
F_x = F\cos\theta_x,\qquad F_y = F\cos\theta_y,\qquad F_z = F\cos\theta_z.
  • Propriedade dos cossenos diretores: por serem componentes de um vetor unitário,
\cos^{2}\theta_x+\cos^{2}\theta_y+\cos^{2}\theta_z = 1.
Essa identidade é útil para checar consistência: se der uma tripla de cossenos que não satisfaz essa soma igual a 1, há um erro de dados.

Passo 3

Procedimento para calcular as componentes e os ângulos, dependendo do tipo de informação que for dada (faça isso na prova):
  1. Se forem fornecidos os ângulos \theta_x,\theta_y,\theta_z:
    • Calcule \cos\theta_x,\cos\theta_y,\cos\theta_z.
    • Verifique que \cos^{2}\theta_x+\cos^{2}\theta_y+\cos^{2}\theta_z=1 (consistência).
    • Então as componentes são
    F_x = F\cos\theta_x,\quad F_y = F\cos\theta_y,\quad F_z = F\cos\theta_z.
    • Os próprios ângulos já são conhecidos, mas se só quiser confirmar a partir das componentes calcule \theta_x=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{F_x}{F}\right), etc.
  2. Se for dado um vetor diretor (por exemplo, uma direção proporcional a (a,b,c)):
    • Primeiro forme o vetor unitário na direção:
    \mathbf{u} = \frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\,(a,b,c).
    • As componentes da força são \mathbf{F}=F\mathbf{u}, ou seja
    F_x = F\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad F_y = F\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad F_z = F\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.
    • Depois calcule os ângulos por \theta_x=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{F_x}{F}\right), etc.
  3. Se forem dadas duas componentes e o módulo F, a terceira componente pode ser obtida por F_z = \pm\sqrt{F^{2}-F_x^{2}-F_y^{2}},tomando o sinal conforme o sentido conhecido (positivo ou negativo).
Esses são os caminhos que você precisa dominar para a prova. Agora um exemplo ilustrativo para fixar a ideia (não é a solução do enunciado porque para o enunciado faltam dados).

Passo 4

Exemplo ilustrativo 1 (mostra como fazer se os ângulos fossem iguais): suponha uma força de 750\\ \mathrm{N} cuja direção forma o mesmo ângulo com os três eixos (situação clássica). Então
\cos\theta_x=\cos\theta_y=\cos\theta_z = \frac{1}{\sqrt{3}}.
As componentes seriam
F_x=750\cdot\frac{1}{\sqrt{3}},\quad F_y=750\cdot\frac{1}{\sqrt{3}},\quad F_z=750\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}.
Cálculo prático:
\frac{750}{\sqrt{3}} = 750\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=250\sqrt{3}\approx 250\cdot1{,}732\approx 433{,}01\\ \mathrm{N}.
E os ângulos:
\theta_x=\theta_y=\theta_z=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\approx 54{,}74^\circ.
Isto ilustra o uso direto da fórmula F_x=F\cos\theta_x e da relação do cosseno diretor.

Passo 5

Exemplo ilustrativo 2 (se for dada uma direção por razões): suponha que a direção é paralela ao vetor (2, -1, 2) e que a força tem módulo 900\\ \mathrm{N}. Então:
  • Primeiro normaliza-se:
\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3.
  • O vetor unitário é \mathbf{u}=\left(\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3}\right).
  • As componentes da força são
F_x=900\cdot\frac{2}{3}=600\\ \mathrm{N},\quad F_y=900\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)=-300\\ \mathrm{N},\quad F_z=900\cdot\frac{2}{3}=600\\ \mathrm{N}.
  • Os ângulos são dados por
\theta_x=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{600}{900}\right)=\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{2}{3}\right), \quad \theta_y=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{-300}{900}\right)=\operatorname{arccos}\!\left(-\tfrac{1}{3}\right), \quad \theta_z=\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{2}{3}\right).
Se precisar, numa prova você calcula os arcos com a calculadora. Note que neste exemplo todos os passos são puramente mecânicos e seguem as fórmulas do passo 2–3.

Passo 6

Resumo prático para a sua prova (o check-list que salva tempo):
  • Se te derem os ângulos \theta_x,\theta_y,\theta_z -> multiplica cada \cos pelo módulo F.
  • Se te derem um vetor diretor (a,b,c) -> normaliza e multiplica pelo módulo F.
  • Se te derem duas componentes e o módulo -> usa F_z=\pm\sqrt{F^{2}-F_x^{2}-F_y^{2}}.
  • Sempre cheque \cos^{2}\theta_x+\cos^{2}\theta_y+\cos^{2}\theta_z=1 para consistência.
    Força-te a escrever cada passo durante a prova: declara o que é dado, escolhe o método, aplica a fórmula, faz um checking rápido.

Resposta

(a) Não é possível determinar numericamente as componentes da força de 750\\ \mathrm{N} — falta informação sobre a direção da força (ângulos ou vetor diretor).
(b) Não é possível determinar numericamente \theta_x,\theta_y,\theta_z para a força de 750\\ \mathrm{N} — falta informação sobre a direção.
(c) Não é possível determinar numericamente as componentes da força de 900\\ \mathrm{N} — falta informação sobre a direção da força (ângulos ou vetor diretor).
(d) Não é possível determinar numericamente \theta_x,\theta_y,\theta_z para a força de 900\\ \mathrm{N} — falta informação sobre a direção.

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