Determine (a) as componentes
e
da força de 750 N , (b) os ângulos
,
y e
z que a força forma com os eixos coordenados. Determine (c) as componentes
e
da força de 900 N , (d) os ângulos
,
e
que a força forma com os eixos coordenados.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas:
- (a) as componentes
da força de ; - (b) os ângulos
que essa força faz com os eixos coordenados; - (c) as componentes
da força de ; - (d) os ângulos
correspondentes à força de .
Informações que o enunciado fornece explicitamente:
- O valor da magnitude (módulo) das forças:
e .
Informação que falta (essencial para obter as componentes e os ângulos):
- Não foi dada a direção de cada força. Ou seja, não há nem ângulos
iniciais, nem um vetor diretor, nem razões/projeções (por exemplo, proporção entre componentes). Sem essa informação de direção não é possível calcular numericamente as componentes nem os ângulos.
Conclusão imediata: com apenas as magnitudes
e
não é possível determinar numericamente as componentes ou os ângulos. A seguir eu explico, passo a passo, como se resolve o problema caso a direção seja fornecida (assim você faz na prova) e dou exemplos ilustrativos.
Passo 2
Conceitos e fórmulas básicas (a “aula rápida” que você pediu).
- Representação da força como vetor: seja a força
com componentes
Aqui
é a componente da força na direção do eixo
,
na direção do eixo
e
na direção do eixo
.
- Módulo (magnitude) da força:
- Definição das direções (cosenos diretores): os ângulos
são os ângulos entre e os eixos . Eles satisfazem
Isto significa que, conhecendo o módulo
e os ângulos
, as componentes são
- Propriedade dos cossenos diretores: por serem componentes de um vetor unitário,
Essa identidade é útil para checar consistência: se der uma tripla de cossenos que não satisfaz essa soma igual a
, há um erro de dados.
Passo 3
Procedimento para calcular as componentes e os ângulos, dependendo do tipo de informação que for dada (faça isso na prova):
- Se forem fornecidos os ângulos
: - Calcule
. - Verifique que
(consistência). - Então as componentes são
- Os próprios ângulos já são conhecidos, mas se só quiser confirmar a partir das componentes calcule
, etc.
- Calcule
- Se for dado um vetor diretor (por exemplo, uma direção proporcional a
): - Primeiro forme o vetor unitário na direção:
- As componentes da força são
, ou seja
- Depois calcule os ângulos por
, etc.
- Se forem dadas duas componentes e o módulo
, a terceira componente pode ser obtida por tomando o sinal conforme o sentido conhecido (positivo ou negativo).
Esses são os caminhos que você precisa dominar para a prova. Agora um exemplo ilustrativo para fixar a ideia (não é a solução do enunciado porque para o enunciado faltam dados).
Passo 4
Exemplo ilustrativo 1 (mostra como fazer se os ângulos fossem iguais): suponha uma força de
cuja direção forma o mesmo ângulo com os três eixos (situação clássica). Então
As componentes seriam
Cálculo prático:
E os ângulos:
Isto ilustra o uso direto da fórmula
e da relação do cosseno diretor.
Passo 5
Exemplo ilustrativo 2 (se for dada uma direção por razões): suponha que a direção é paralela ao vetor
e que a força tem módulo
. Então:
- Primeiro normaliza-se:
- O vetor unitário é
. - As componentes da força são
- Os ângulos são dados por
Se precisar, numa prova você calcula os arcos com a calculadora. Note que neste exemplo todos os passos são puramente mecânicos e seguem as fórmulas do passo 2–3.
Passo 6
Resumo prático para a sua prova (o check-list que salva tempo):
- Se te derem os ângulos
-> multiplica cada pelo módulo . - Se te derem um vetor diretor
-> normaliza e multiplica pelo módulo . - Se te derem duas componentes e o módulo -> usa
. - Sempre cheque
para consistência.
Força-te a escrever cada passo durante a prova: declara o que é dado, escolhe o método, aplica a fórmula, faz um checking rápido.
Resposta
(a) Não é possível determinar numericamente as componentes da força de
— falta informação sobre a direção da força (ângulos ou vetor diretor).
(b) Não é possível determinar numericamente para a força de
— falta informação sobre a direção.
(c) Não é possível determinar numericamente as componentes da força de — falta informação sobre a direção da força (ângulos ou vetor diretor).
(d) Não é possível determinar numericamente para a força de
— falta informação sobre a direção.
(b) Não é possível determinar numericamente
(c) Não é possível determinar numericamente as componentes da força de
(d) Não é possível determinar numericamente