Questão (3,0 pontos) -
Um cilindro de latão com diâmetro de 10 mm é tracionado ao longo do seu eixo. Qual é a força necessária para causar uma mudança de
no diâmetro, no regime elástico?
.
Um cilindro de latão com diâmetro de 10 mm é tracionado ao longo do seu eixo. Qual é a força necessária para causar uma mudança de
Passo 1
O que o problema pede e os dados fornecidos:
- Pedido: calcular a força
necessária (tração axial) que provoca uma redução do diâmetro de no regime elástico. - Dados (peguei estes valores do enunciado):
- diâmetro inicial:
, - variação do diâmetro:
, - coeficiente de Poisson:
, - módulo de Young:
.
- diâmetro inicial:
- Área da seção (fornecida):
. - Observação: o enunciado fornece fórmulas relacionadas à deformação axial, mas aqui usaremos a relação entre deformação axial, efeito de Poisson e variação lateral do diâmetro para determinar a tensão e daí a força.
Passo 2
Entendendo a física e as fórmulas que vamos usar (aulas rápidas e sem pulo de etapas).
- Quando um corpo é tracionado ao longo do eixo, aparece uma deformação axial (alongamento) que chamamos de
. Em regime elástico e material linear, vale:
onde
é a tensão axial (força por unidade de área) e
é o módulo de Young.
- O coeficiente de Poisson
relaciona a deformação lateral (no nosso caso a redução do diâmetro) com a deformação axial:
O sinal negativo indica que se a deformação axial for positiva (alongamento), a lateral é negativa (contração). Para trabalhar com magnitudes usamos:
- A deformação lateral relacionada ao diâmetro é
onde
é a variação (aqui uma diminuição, mas usamos o valor absoluto).
- Combinando as relações:
- Depois obtemos a tensão:
- Finalmente a força é
Passo 3
Aplicando numericamente as fórmulas (sempre explicando cada substituição). Primeiro colocamos todos os valores no SI:
-
. -
. -
. -
.
Calcular a deformação axial:
Calcule o denominador:
. Portanto
Logo a tensão axial é
Passo 4
Calcular a área da seção e a força:
Área:
Numericamente
Força:
Em unidades práticas:
Passo 5
Interpretação rápida para a prova (dica prática): a variação muito pequena do diâmetro corresponde a uma deformação axial de
(
), o que aqui exige uma tensão de
. Multiplicando pela área do núcleo de diâmetro
dá cerca de
. Essa é uma forma curta de memorizar o procedimento: do
usar Poisson para achar
, depois
e
.