1{ }^{\text {a }} Questão (3,0 pontos) -
Um cilindro de latão com diâmetro de 10 mm é tracionado ao longo do seu eixo. Qual é a força necessária para causar uma mudança de 3,5 \mu \mathrm{~m} no diâmetro, no regime elástico?
v=0,35.
\mathrm{E}=100 \mathrm{GPa}
\begin{array}{cc} d=10 \mathrm{~mm} & \delta=\frac{F \cdot L}{A E} \\\ F=? & F=\frac{S A E}{L} \end{array}
A=\frac{\pi d^{2}}{4}

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos:
  • Pedido: calcular a força F necessária (tração axial) que provoca uma redução do diâmetro de 3,5\\ \mu\mathrm{m} no regime elástico.
  • Dados (peguei estes valores do enunciado):
    • diâmetro inicial: d=10\\ \mathrm{mm},
    • variação do diâmetro: \Delta d=3,5\\ \mu\mathrm{m},
    • coeficiente de Poisson: v=0,35,
    • módulo de Young: E=100\\ \mathrm{GPa}.
  • Área da seção (fornecida): A=\dfrac{\pi d^{2}}{4}.
  • Observação: o enunciado fornece fórmulas relacionadas à deformação axial, mas aqui usaremos a relação entre deformação axial, efeito de Poisson e variação lateral do diâmetro para determinar a tensão e daí a força.

Passo 2

Entendendo a física e as fórmulas que vamos usar (aulas rápidas e sem pulo de etapas).
  • Quando um corpo é tracionado ao longo do eixo, aparece uma deformação axial (alongamento) que chamamos de \varepsilon_{\text{axial}}. Em regime elástico e material linear, vale:
\varepsilon_{\text{axial}}=\dfrac{\sigma}{E},
onde \sigma é a tensão axial (força por unidade de área) e E é o módulo de Young.
  • O coeficiente de Poisson v relaciona a deformação lateral (no nosso caso a redução do diâmetro) com a deformação axial:
v=-\dfrac{\varepsilon_{\text{lateral}}}{\varepsilon_{\text{axial}}}.
O sinal negativo indica que se a deformação axial for positiva (alongamento), a lateral é negativa (contração). Para trabalhar com magnitudes usamos:
\lvert\varepsilon_{\text{lateral}}\rvert = v\,\varepsilon_{\text{axial}}.
  • A deformação lateral relacionada ao diâmetro é
\varepsilon_{\text{lateral}}=\dfrac{\Delta d}{d},
onde \Delta d é a variação (aqui uma diminuição, mas usamos o valor absoluto).
  • Combinando as relações:
\frac{\Delta d}{d}=v\,\varepsilon_{\text{axial}} \quad\Rightarrow\quad \varepsilon_{\text{axial}}=\dfrac{\Delta d}{v\,d}.
  • Depois obtemos a tensão:
\sigma = E\,\varepsilon_{\text{axial}} = E\cdot\dfrac{\Delta d}{v\,d}.
  • Finalmente a força é
F=\sigma A = \sigma\cdot\dfrac{\pi d^{2}}{4}.

Passo 3

Aplicando numericamente as fórmulas (sempre explicando cada substituição). Primeiro colocamos todos os valores no SI:
  • d=10\\ \mathrm{mm}=0{,}01\\ \mathrm{m}.
  • \Delta d=3,5\\ \mu\mathrm{m}=3{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  • E=100\\ \mathrm{GPa}=100\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}=1{,}0\times10^{11}\\ \mathrm{Pa}.
  • v=0{,}35.
Calcular a deformação axial:
\varepsilon_{\text{axial}}=\dfrac{\Delta d}{v\,d}=\dfrac{3{,}5\times10^{-6}}{0{,}35\cdot 0{,}01}.
Calcule o denominador: 0{,}35\cdot0{,}01=3{,}5\times10^{-3}. Portanto
\varepsilon_{\text{axial}}=\dfrac{3{,}5\times10^{-6}}{3{,}5\times10^{-3}}=1{,}0\times10^{-3}=0{,}001.
Logo a tensão axial é
\sigma = E\,\varepsilon_{\text{axial}} = 1{,}0\times10^{11}\cdot 1{,}0\times10^{-3}=1{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}=100\\ \mathrm{MPa}.

Passo 4

Calcular a área da seção e a força:
Área:
A=\dfrac{\pi d^{2}}{4}=\dfrac{\pi (0{,}01)^{2}}{4}=\dfrac{\pi \cdot 1{,}0\times10^{-4}}{4}=\pi\cdot 2{,}5\times10^{-5}.
Numericamente
A\approx 3{,}14159\cdot 2{,}5\times10^{-5}\approx 7{,}85398\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.
Força:
F=\sigma A = 1{,}0\times10^{8}\cdot 7{,}85398\times10^{-5}\\ \mathrm{N}\approx 7{,}85398\times10^{3}\\ \mathrm{N}.
Em unidades práticas:
F\approx 7{,}85\times10^{3}\\ \mathrm{N}=7{,}85\\ \mathrm{kN}.

Passo 5

Interpretação rápida para a prova (dica prática): a variação muito pequena do diâmetro corresponde a uma deformação axial de 0{,}1\% ( \varepsilon_{\text{axial}}=0{,}001), o que aqui exige uma tensão de 100\\ \mathrm{MPa}. Multiplicando pela área do núcleo de diâmetro 10\\ \mathrm{mm} dá cerca de 7{,}85\\ \mathrm{kN}. Essa é uma forma curta de memorizar o procedimento: do \Delta d usar Poisson para achar \varepsilon, depois \sigma=E\varepsilon e F=\sigma A.

Resposta

F\approx 7{,}85\times10^{3}\\ \mathrm{N}

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