Determine o comportamento assintótico dos seguintes sistemas de equações diferenciais:
x^{\prime}=\left(\begin{array}{ll} 2 & -1 \\\\ 3 & -2 \end{array}\right) x

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear homogêneo de dimensão 2
x' = A x,\qquad A=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]3 & -2\end{pmatrix},
e pede o comportamento assintótico do sistema (isto é, como as soluções se comportam quando t\to+\infty e, se relevante, quando t\to-\infty). Informações relevantes fornecidas:
\text{Matriz }A\text{ com entradas }a_{11}=2,\;a_{12}=-1,\;a_{21}=3,\;a_{22}=-2.
O ponto de equilíbrio implícito é x=0. O que precisamos responder concretamente (listei para não nos perder):
  • encontrar os autovalores de A;
  • encontrar autovetores correspondentes;
  • escrever a solução geral x(t);
  • classificar a estabilidade do equilíbrio x=0 e descrever as variedades estável/instável e o comportamento de soluções típicas conforme t\to\pm\infty.]

Passo 2

Calcular os autovalores (eigenvalues) de A. Para isso usamos o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Vamos montar e desenvolver esse determinante passo a passo:
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}2-\lambda & -1\\[4pt]3 & -2-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante de uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} é ad-bc. Aplicando aqui:
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(-2-\lambda)-(-1)\cdot 3.
Desenvolvendo o produto:
(2-\lambda)(-2-\lambda) = -4 +\lambda^2
(portanto o termo em \lambda linear cancela), e somando os +3 vindos de -(-1)\cdot3 obtemos
\det(A-\lambda I)=\lambda^2-1.
Assim o polinômio característico é \lambda^2-1=0, cujas raízes são
\lambda=\pm 1.]

Passo 3

Encontrar autovetores para cada autovalor. Primeiro para \lambda=1\) resolvemos \((A-I)v=0\): \[A-I=\begin{pmatrix}2-1 & -1\\[4pt]3 & -2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]3 & -3\end{pmatrix}.
A equação (A-I)v=0 dá o sistema
\begin{cases} v_1 - v_2 = 0,\\[4pt] 3v_1 -3v_2 = 0, \end{cases}
ambas equivalentes a (v_1=v_2]. Podemos escolher o autovetor simples
v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Agora para \lambda=-1\) resolvemos \((A+I)w=0\): \[A+I=\begin{pmatrix}2+1 & -1\\[4pt]3 & -2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]3 & -1\end{pmatrix}.
A equação (A+I)w=0 dá o sistema
\begin{cases} 3w_1 - w_2 = 0,\\[4pt] 3w_1 - w_2 = 0, \end{cases}
ou seja w_2=3w_1\]. Tomando \(w_1=1 obtemos o autovetor
v^{(-1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Montar a solução geral usando a base de autovetores. Para um sistema linear diagonalizável com autovetores v^{(1)} e v^{(-1)} e autovalores 1 e -1, a solução geral é combinação linear:
x(t)=C_1 e^{1\cdot t} v^{(1)} + C_2 e^{-1\cdot t} v^{(-1)},
ou seja
x(t)=C_1 e^{t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} + C_2 e^{-t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix},
onde C_1,C_2\in\mathbb{R} são constantes determinadas pela condição inicial x(0).
Vou explicar por que essa forma funciona: cada autovetor v satisfaz A v=\lambda v. Então a função x(t)=e^{\lambda t}v é solução porque x'(t)=\lambda e^{\lambda t}v = A e^{\lambda t}v = A x(t). Como os autovetores formam base (v^{(1)},v^{(-1)}) da \mathbb{R}^2, qualquer condição inicial é combinação linear deles, e a superposição linear dá a solução geral.]

Passo 5

Classificar estabilidade e descrever variedades estável/instável. Relembrando o critério prático:
  • se todos os autovalores têm parte real negativa, a origem é assintoticamente estável;
  • se algum autovalor tem parte real positiva, a origem é instável;
  • se há autovalores com sinais opostos (um positivo e outro negativo), a origem é um ponto de sela (saddle): tem uma direção de crescimento e outra de decaimento exponencial.
Aqui temos autovalores 1 e -1, com sinais opostos. Logo:
  • existe uma direção associada ao autovalor \lambda=1 (autovetor \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}) em que as soluções crescem exponencialmente como e^{t} quando t\to+\infty. Essa é a variedade instável W^u=\mathrm{span}\{(1,1)^T\}.
  • existe uma direção associada ao autovalor \lambda=-1 (autovetor \begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix}) em que as soluções decaem exponencialmente como e^{-t} quando t\to+\infty. Essa é a variedade estável W^s=\mathrm{span}\{(1,3)^T\}.
    Portanto o equilíbrio x=0 é um ponto de sela (saddle) e é instável (não assintoticamente estável).

Passo 6

Descrever o comportamento para condições iniciais genéricas e casos especiais.
  • Condição inicial genérica: escreva x(0)=C_1 v^{(1)}+C_2 v^{(-1)} com C_1\neq 0. Para t\to+\infty o termo C_1 e^{t}v^{(1)} domina e \|x(t)\|\to+\infty exponencialmente, e a direção assintótica de crescimento tende a ser a de v^{(1)}=(1,1)^T (as soluções apontam mais e mais para essa direção conforme t cresce). Para t\to -\infty o termo C_2 e^{-t}v^{(-1)} domina (porque e^{-t} cresce quando t\to -\infty), então as trajetórias vão ao infinito no passado alinhadas com v^{(-1)}.
  • Condição inicial especial na variedade estável: se C_1=0 (ou seja x(0) é múltiplo de \begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix}), então x(t)=C_2 e^{-t}v^{(-1)}\to 0 quando t\to+\infty. Essas são as únicas soluções que tendem à origem no futuro.
  • Condição inicial especial na variedade instável: se C_2=0 (ou seja x(0) é múltiplo de \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}), então x(t)=C_1 e^{t}v^{(1)} explode exponencialmente quando t\to+\infty e tende a 0 quando t\to -\infty.

Passo 7

Se quiser uma expressão matricial da solução fundamental (útil para padrões e para ver o crescimento nos termos da matriz exponencial), podemos diagonalizar A=SDS^{-1} com colunas de S os autovetores. Tome
S=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.
O determinante de S é 2, logo
S^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}.
A matriz exponencial é
e^{At}=S e^{Dt} S^{-1}=S\begin{pmatrix}e^{t} & 0\\[4pt]0 & e^{-t}\end{pmatrix}S^{-1},
que, após multiplicações, dá
e^{At}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}3e^{t}-e^{-t} & -e^{t}+e^{-t}\\[4pt]3e^{t}-3e^{-t} & -e^{t}+3e^{-t}\end{pmatrix}.
Esse e^{At} quando t\to+\infty comporta-se como \sim \dfrac{e^{t}}{2}\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]3 & -1\end{pmatrix}, mostrando explicitamente a dominância exponencial e que as colunas ficam proporcionais ao autovetor instável.]

Passo 8

Resumo intuitivo e motivador (pra você na prova): pense em duas direções especiais no plano: uma em (1,1) onde as soluções “correm para fora” (instável), e outra em (1,3) onde as soluções “caem para dentro” (estável). Para qualquer condição inicial fora da reta estável, a solução explode no futuro seguindo a direção (1,1). Só se você acertar a reta estável exatamente é que a solução vai ao originar no futuro.

Resposta

\displaystyle x(t)=C_1 e^{t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}+C_2 e^{-t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Autovalores: \lambda_1=1,\\ \lambda_2=-1.
Origem: ponto de sela (saddle), instável.
Variedade instável: W^u=\mathrm{span}\{(1,1)^T\}.
Variedade estável: W^s=\mathrm{span}\{(1,3)^T\}.]

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