Determine a transformada de Laplace:
A função de Heaviside H(t)\) é definida como\[H(t)= \begin{cases}1, & t \geq 0 \\\\ 0, & t<0\end{cases}
Determine a transformada de Laplace de (H(t-c)].

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função de Heaviside deslocada H(t-c)\). Informações dadas: - A função de Heaviside é definida por \[H(t)=\begin{cases}1,& t\ge 0,\\[4pt]0,& t<0.\end{cases}
  • Queremos \mathcal{L}\{H(t-c)\}\], onde \(c é uma constante (pode ser positiva, zero ou negativa).
Nada mais foi pedido.]

Passo 2

Vou lembrar rapidamente a definição da transformada de Laplace, para a gente trabalhar passo a passo.
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
desde que a integral converja (normalmente exigimos \Re(s)>0 para funções exponenciais/constantes).
Aqui s é a variável complexa da transformada e \Re(s) denota a parte real de s.

Passo 3

Entendendo o que é H(t-c): por definição de deslocamento, \;H(t-c)=0 quando t<c e \;H(t-c)=1 quando t\ge c.
Então, ao aplicar a definição da transformada, o integrando e^{-st}H(t-c) vale zero para 0\le t<c (se c>0) e vale e^{-st} onde t está na região em que H(t-c)=1.

Passo 4

Escrevemos a integral da transformada usando a propriedade acima. Há dois casos a cuidar: c>0 e c\le 0.
Caso c>0: o produto e^{-st}H(t-c) é zero em 0\le t<c e igual a e^{-st} em t\ge c. Assim
\mathcal{L}\{H(t-c)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}H(t-c)\,dt=\int_{c}^{\infty} e^{-st}\,dt.

Passo 5

Calcule a integral do caso c>0. Primeiro fazemos o integral impróprio:
\int_{c}^{\infty} e^{-st}\,dt=\lim_{A\to\infty}\int_{c}^{A} e^{-st}\,dt.
A primitiva de e^{-st} em t é -\dfrac{1}{s}e^{-st}. Então
\int_{c}^{A} e^{-st}\,dt=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{t=c}^{t=A}=-\frac{1}{s}e^{-sA}+\frac{1}{s}e^{-sc}.
Tomando o limite A\to\infty: se \Re(s)>0 então e^{-sA}\to 0, logo
\int_{c}^{\infty} e^{-st}\,dt=\frac{1}{s}e^{-sc}.
Portanto, para c>0 e \Re(s)>0 temos \mathcal{L}\{H(t-c)\}(s)=\dfrac{e^{-cs}}{s}.

Passo 6

Caso c\le 0: então para todo t\ge 0 temos t\ge c, ou seja H(t-c)=1 em todo o intervalo de integração [0,\infty). Assim
\mathcal{L}\{H(t-c)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt.
Calculamos essa integral exatamente como antes (primitiva -\dfrac{1}{s}e^{-st}) e, para \Re(s)>0,
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt=\frac{1}{s}.
Logo, para c\le 0 obtemos \mathcal{L}\{H(t-c)\}(s)=\dfrac{1}{s}.

Passo 7

Resumo/observações didáticas rápidas:
  • A ideia principal é usar que H(t-c) “liga” em t=c, transformando a integral em \int_{c}^{\infty} quando c>0.
  • A exigência de convergência usada foi \Re(s)>0 para que e^{-sA}\to 0 quando A\to\infty.
  • Alternativa (teorema do deslocamento no tempo): como H(t-c)=u_c(t) e é igual a 1\cdot u_c(t), aplica-se a fórmula \mathcal{L}\{f(t-c)u_c(t)\}=e^{-cs}F(s). Tomando f\equiv 1 com F(s)=1/s recupera-se \dfrac{e^{-cs}}{s} para c\ge 0.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{H(t-c)\}(s)=\frac{e^{-cs}}{s},\quad c>0,\\ \Re(s)>0
\displaystyle \mathcal{L}\{H(t-c)\}(s)=\frac{1}{s},\quad c\le 0,\\ \Re(s)>0

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