Determine a transformada de Laplace:
A função de Heaviside
Determine a transformada de Laplace de (H(t-c)].
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace da função de Heaviside deslocada
- Queremos é uma constante (pode ser positiva, zero ou negativa).
Nada mais foi pedido.]
Passo 2
Vou lembrar rapidamente a definição da transformada de Laplace, para a gente trabalhar passo a passo.
A transformada de Laplace de uma função é definida por
A transformada de Laplace de uma função
desde que a integral converja (normalmente exigimos
para funções exponenciais/constantes).
Aqui é a variável complexa da transformada e
denota a parte real de
.
Aqui
Passo 3
Entendendo o que é
: por definição de deslocamento,
quando
e
quando
.
Então, ao aplicar a definição da transformada, o integrando vale zero para
(se
) e vale
onde
está na região em que
.
Então, ao aplicar a definição da transformada, o integrando
Passo 4
Escrevemos a integral da transformada usando a propriedade acima. Há dois casos a cuidar:
e
.
Caso
: o produto
é zero em
e igual a
em
. Assim
Passo 5
Calcule a integral do caso
. Primeiro fazemos o integral impróprio:
A primitiva de
em
é
. Então
Tomando o limite
: se
então
, logo
Portanto, para
e
temos
.
Passo 6
Caso
: então para todo
temos
, ou seja
em todo o intervalo de integração
. Assim
Calculamos essa integral exatamente como antes (primitiva
) e, para
,
Logo, para
obtemos
.
Passo 7
Resumo/observações didáticas rápidas:
- A ideia principal é usar que
“liga” em , transformando a integral em quando . - A exigência de convergência usada foi
para que quando . - Alternativa (teorema do deslocamento no tempo): como
e é igual a , aplica-se a fórmula . Tomando com recupera-se para .