Determine o comprimento de arco das seguinte curvas:
x(t)=\int_{1}^{t} \frac{\cos (u) d u}{u^{2}}, y(t)=\int_{1}^{t} \frac{\operatorname{sen}(u) d u}{u^{2}}\, do ponto ( 0,0 ) até o ponto mais próximo que tenha tangente vertical.éó

Passo 1

O enunciado nos dá as curvas paramétricas
x(t)=\int_{1}^{t}\frac{\cos(u)}{u^{2}}\,du,\quad y(t)=\int_{1}^{t}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u^{2}}\,du
e pede o comprimento de arco desde o ponto (0,0) (que corresponde a t=1) até o ponto mais próximo em que a tangente seja vertical. Vamos usar a fórmula do comprimento de arco de uma curva paramétrica no plano e também a condição de tangente vertical.

Passo 2

Para identificar onde a tangente é vertical, lembramos que a tangente é vertical quando
\frac{dx}{dt}=0\quad\text{e}\quad\frac{dy}{dt}\neq 0.
Calculamos
\frac{dx}{dt}=\frac{\cos t}{t^{2}},\qquad \frac{dy}{dt}=\frac{\operatorname{sen} t}{t^{2}}.
A condição \frac{dx}{dt}=0 implica \cos t=0, cujo menor t>1 é
t_{0}=\frac{\pi}{2}.

Passo 3

A fórmula do comprimento de arco s de uma curva paramétrica (x(t),y(t)) de t=a até t=b é
s=\int_{a}^{b}\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^{2}}\;dt.
Aqui a=1 e b=\pi/2.

Passo 4

Substituindo as derivadas embaixo da raiz, obtemos
\sqrt{\Bigl(\frac{\cos t}{t^{2}}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{\operatorname{sen} t}{t^{2}}\Bigr)^{2}} =\sqrt{\frac{\cos^{2}t+\operatorname{sen}^{2}t}{t^{4}}} =\frac{1}{t^{2}}.
Logo o comprimento de arco é
s=\int_{1}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{t^{2}}\,dt.

Passo 5

Basta calcular a integral
\int_{1}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{t^{2}}\,dt =\left[-\frac{1}{t}\right]_{1}^{\frac{\pi}{2}} =-\frac{2}{\pi}+1 =1-\frac{2}{\pi}.

Resposta

1-\dfrac{2}{\pi}

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