Determine o comprimento de arco das seguinte curvas:
Passo 1
O enunciado nos dá as curvas paramétricas
e pede o comprimento de arco desde o ponto
(que corresponde a
) até o ponto mais próximo em que a tangente seja vertical. Vamos usar a fórmula do comprimento de arco de uma curva paramétrica no plano e também a condição de tangente vertical.
Passo 2
Para identificar onde a tangente é vertical, lembramos que a tangente é vertical quando
Calculamos
A condição
implica
, cujo menor
é
Passo 3
A fórmula do comprimento de arco
de uma curva paramétrica
de
até
é
Aqui
e
.
Passo 4
Substituindo as derivadas embaixo da raiz, obtemos
Logo o comprimento de arco é
Passo 5
Basta calcular a integral