Seja
a curva definida pela equações
e
:
(a) A curva é de classe
?
(b)
é regular?
(c) Elimine o parâmetro e esboce o traço da curva.
(a) A curva é de classe
(b)
(c) Elimine o parâmetro e esboce o traço da curva.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva parametrizada
e pede três coisas: (a) verificar se é de classe
; (b) verificar se é regular; (c) eliminar o parâmetro e esboçar o traço.
Passo 2
Para ser de classe
basta que
seja contínua e que sua derivada
exista e seja contínua em
. Calculamos
Como
e
são polinômios, eles existem e são contínuos em todo
. Logo
é de classe
em
.
Passo 3
Uma curva é regular se
para todo
do domínio. Aqui
Portanto em
temos
, ou seja, a curva falha em ser regular nesse ponto. Logo
não é regular.
Passo 4
Para eliminar o parâmetro observamos que
Assim o traço é a porção da parábola
com
variando em
, ou seja, o ramo da parábola entre os pontos
e
.
O esboço é simplesmente a parábola voltada para cima, cortando o eixo
na origem, restrita a
.
Resposta
(a) Sim,
é de classe
.
(b) Não, pois .
(c) Eliminando o parâmetro obtém-se
(b) Não, pois
(c) Eliminando o parâmetro obtém-se
ou seja, o ramo da parábola
entre
e
.