Determine o comprimento das curvas abaixo. 
  de 
  a 
 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento da curva definida por 
  no intervalo de 
  até 
 . Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos ajuda a determinar o tamanho de uma curva quando ela está descrita por uma função.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva quando 
  está em função de 
 . A fórmula é:
Aqui, 
  é o comprimento da curva, 
  e 
  são os limites de integração (no nosso caso, 1 e 3), e 
  é a derivada de 
  em relação a 
 .
Passo 3
Vamos calcular a derivada de 
  em relação a 
 :
Derivando termo a termo:
Passo 4
Agora, vamos calcular 
 :
Passo 5
Substituímos esse valor na fórmula do comprimento do arco:
Passo 6
Observando a expressão dentro da raiz, percebemos que ela pode ser simplificada:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Como estamos calculando um intervalo definido, o constante 
  não é necessário.
Passo 8
Aplicamos os limites de integração de 1 a 3:
Simplificando:
Resposta
O comprimento da curva é 
  unidades.