Determine o comprimento exato de cada curva gamma a seguir.
gamma(t)=(e^t-t, 4 e^t / 2), 0 <= t <= 2

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva
gamma(t)=l(e^t-t,;4e^t/2r), 0<= t<=2
Aqui usamos o conteúdo de comprimento de curva em parametrização por t, isto é
L=integrala^bl|gamma'(t)r|,dt,
onde gamma'(t) é a derivada vetor.

Passo 2

Calculamos a derivada de cada componente de gamma. Temos
gamma'(t)=l(,(e^t-t)',,,(4e^t/2)'r) =l(e^t-1,;4cdottfrac12e^t/2r) =l(e^t-1,;2e^t/2r)

Passo 3

Agora obtemos a norma de gamma'(t):
l|gamma'(t)r| =raiz(e^t-1)^2+(2e^t/2)^2 =raize^2t-2e^t+1+4e^t =raize^2t+2e^t+1 =raiz(e^t+1)^2 =e^t+1

Passo 4

O comprimento é
L=integral0^2l(e^t+1r),dt =integral0^2e^t,dt+integral0^21,dt =l[e^tr]0^2+l[tr]0^2 =(e^2-1)+(2-0) =e^2+1

Resposta

O comprimento exato da curva é e^2+1.

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