Determine o comprimento exato de cada curva gamma a seguir.
gamma(t)=(t sen(t), t cos (t)), 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica
gamma(t)=(tsin t,;tcos t) para 0<= t<=1.
O conteúdo aqui é comprimento de arco de curva em R^2, e vamos usar a fórmula
L=integral0^1l|gamma'(t)r|,dt

Passo 2

Vamos calcular gamma'(t). Para gamma(t)=(x(t),y(t)) com x(t)=tsin t e y(t)=tcos t,
x'(t)=sin t + tcos t, y'(t)=cos t - tsin t
Logo,
gamma'(t)=l(sin t + tcos t,;cos t - tsin tr)

Passo 3

Calculamos a norma ao quadrado:
|gamma'(t)|^2 =(sin t + tcos t)^2+(cos t - tsin t)^2 = sin^2t+cos^2t + t^2(cos^2t+sin^2t) =1+t^2
Portanto
|gamma'(t)|=raiz1+t^2
e o comprimento vale
L=integral0^1raiz1+t^2,dt

Passo 4

Para integrar usamos o antiderivado conhecido:
integral raiz1+t^2,dt =t2raiz1+t^2 +12lnl(t+raiz1+t^2r)+C
Avaliando de 0 a 1
L =gl[t2raiz1+t^2 +12lnl(t+raiz1+t^2r)gr]0^1 =12l(raiz2+ln(1+raiz2)r)

Resposta

O comprimento exato da curva é
12l(raiz2+ln(1+raiz2)r)

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