Determine o comprimento exato de cada curva
a seguir.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica
para
.
O conteúdo aqui é comprimento de arco de curva em , e vamos usar a fórmula
O conteúdo aqui é comprimento de arco de curva em
Passo 2
Vamos calcular
gamma'(t) . Para
gamma(t)=(x(t),y(t)) com
x(t)=tsin t e
y(t)=tcos t ,
Logo,
Passo 3
Calculamos a norma ao quadrado:
Portanto
e o comprimento vale
Passo 4
Para integrar usamos o antiderivado conhecido:
Avaliando de
0 a
1 dá
Resposta
O comprimento exato da curva é