Determine a condição de m para que os vetores \{(-1,1,0),(0,-1, m),(-2,3,1)\} seja LI .

Passo 1

O enunciado pede a condição sobre m para que o conjunto de vetores \{(-1,1,0),(0,-1,m),(-2,3,1)\} seja linearmente independente (LI).
Informações dadas:
  • Vetor v_1 = (-1,1,0).
  • Vetor v_2 = (0,-1,m).
  • Vetor v_3 = (-2,3,1).
Objetivo explícito: encontrar os valores de m para os quais esses três vetores são LI.

Passo 2

O que significa “vetores LI” (explicação didática): um conjunto de vetores em \mathbb{R}^3 é linearmente independente quando a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial, ou seja, se
\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3 = (0,0,0)
implica necessariamente \alpha=\beta=\gamma=0.
Fato prático e útil que vou usar (explicando por que): para três vetores em \mathbb{R}^3, colocar esses vetores como colunas de uma matriz A e calcular o determinante \det(A) é uma forma direta de testar independência. Se \det(A)\neq 0, as colunas (os vetores) são LI; se \det(A)=0, são LD (linearmente dependentes). Isso vem do fato de que \det(A)=0 exatamente quando as colunas são linearmente dependentes.

Passo 3

Formo a matriz A cujas colunas são v_1,v_2,v_3:
A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & -2 \\\\ 1 & -1 & 3 \\\\ 0 & m & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora calculo o determinante de A. Uso a fórmula para \det de uma matriz 3\times3:
\det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).
Aqui os elementos são:
a_{11}=-1,\\ a_{12}=0,\\ a_{13}=-2,
a_{21}=1,\\ a_{22}=-1,\\ a_{23}=3,
a_{31}=0,\\ a_{32}=m,\\ a_{33}=1.
Substituindo na fórmula e calculando passo a passo:
Primeiro termo:
a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) = (-1)\big((-1)\cdot 1 - 3\cdot m\big) = (-1)(-1-3m)=1+3m.
Segundo termo (note que a_{12}=0, então esse termo anula-se):
- a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) = -0(\cdots)=0.
Terceiro termo:
a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}) = (-2)\big(1\cdot m - (-1)\cdot 0\big) = (-2)(m-0) = -2m.
Somando os termos:
\det(A) = (1+3m) + 0 + (-2m) = 1 + m.

Passo 5

Interpretação do resultado: como explicado, as colunas (os vetores) são LI se, e somente se, \det(A)\neq 0. Encontramos
\det(A)=1+m.
Portanto a condição de independência é \,1+m\neq 0.

Passo 6

Condição final simplificada: isso dá m\neq -1.
Complemento didático e reconfortante: quando m=-1 temos \det(A)=0 e os vetores ficam dependentes. Para ver explicitamente a dependência quando m=-1, substitua m=-1 e note que uma combinação linear não trivial é
-2v_1 + 1\cdot v_2 + 1\cdot v_3 = 0,
pois para m=-1 tem-se v_2=(0,-1,-1) e verificando:
-2(-1,1,0)+(0,-1,-1)+(-2,3,1) = (0,0,0).
Ou seja, há coeficientes não todos nulos que anulam a combinação, confirmando dependência.

Resposta

m\neq -1

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