Determine a condição de m para que os vetores \{(-1,1,0),(0,-1, m),(-2,3,1)\} seja LI .
Passo 1
O enunciado pede a condição sobre m para que o conjunto de vetores \{(-1,1,0),(0,-1,m),(-2,3,1)\} seja linearmente independente (LI).
Informações dadas:
Vetor v_1 = (-1,1,0).
Vetor v_2 = (0,-1,m).
Vetor v_3 = (-2,3,1).
Objetivo explícito: encontrar os valores de m para os quais esses três vetores são LI.
Passo 2
O que significa “vetores LI” (explicação didática): um conjunto de vetores em \mathbb{R}^3 é linearmente independente quando a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial, ou seja, se
\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3 = (0,0,0)
implica necessariamente \alpha=\beta=\gamma=0.
Fato prático e útil que vou usar (explicando por que): para três vetores em \mathbb{R}^3, colocar esses vetores como colunas de uma matriz A e calcular o determinante \det(A) é uma forma direta de testar independência. Se \det(A)\neq 0, as colunas (os vetores) são LI; se \det(A)=0, são LD (linearmente dependentes). Isso vem do fato de que \det(A)=0 exatamente quando as colunas são linearmente dependentes.
Interpretação do resultado: como explicado, as colunas (os vetores) são LI se, e somente se, \det(A)\neq 0. Encontramos
\det(A)=1+m.
Portanto a condição de independência é \,1+m\neq 0.
Passo 6
Condição final simplificada: isso dá m\neq -1.
Complemento didático e reconfortante: quando m=-1 temos \det(A)=0 e os vetores ficam dependentes. Para ver explicitamente a dependência quando m=-1, substitua m=-1 e note que uma combinação linear não trivial é
-2v_1 + 1\cdot v_2 + 1\cdot v_3 = 0,
pois para m=-1 tem-se v_2=(0,-1,-1) e verificando:
-2(-1,1,0)+(0,-1,-1)+(-2,3,1) = (0,0,0).
Ou seja, há coeficientes não todos nulos que anulam a combinação, confirmando dependência.