Determinar os conjuntos de \mathbb{R}^{3} que são LI: A=\{(1,0,1),(0,1,1),(-1,1,0)\}
Passo 1
O enunciado dá o conjunto A\subset\mathbb{R}^{3} e pede para determinar se é linearmente independente (LI) ou não:
A=\{\, (1,0,1),\; (0,1,1),\; (-1,1,0)\,\}.
A pergunta explícita é: o conjunto A é LI em \mathbb{R}^{3} ou é linearmente dependente (LD)?
Passo 2
Definição útil (o que vou checar): um conjunto de vetores é linearmente independente se a única solução do sistema
\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=0
é \alpha=\beta=\gamma=0. Se existir solução com algum coeficiente diferente de zero, então os vetores são linearmente dependentes. Vou aplicar exatamente isso.
Passo 3
Escrevo a combinação linear e traduzo coordenada a coordenada. Denotando
que é satisfeita. Portanto as relações são consistentes e podemos escolher um parâmetro livre. Tomando \gamma=t (parâmetro), obtemos
\alpha=t,\qquad \beta=-t,\qquad \gamma=t.
Passo 5
Interpretação: para qualquer t\in\mathbb{R} temos uma solução (\alpha,\beta,\gamma)=(t,-t,t). Em particular, escolhendo t=1 obtemos uma solução não trivial
\alpha=1,\quad \beta=-1,\quad \gamma=1,
que dá a relação linear
1\cdot v_1 + (-1)\cdot v_2 + 1\cdot v_3 = 0,
ou seja
v_1 - v_2 + v_3 = 0.
Como existe relação não trivial entre os vetores, o conjunto A é linearmente dependente.
Passo 6
Comentário geométrico rápido e motivador: a relação encontrada também mostra diretamente que v_3 = v_2 - v_1. Isso significa que v_3 está no plano gerado por v_1 e v_2, então os três vetores não formam uma base e são LD — uma forma rápida de ver dependência sem eliminar é sempre testar se algum vetor é combinação dos outros.