Determine a condição que os números reais a, b e c devem satisfazer para que, em cada um dos casos abaixo, o sistema dado tenha solução.
\left\{\begin{aligned} x-2 y+4 z & =a \\\\ 2 x+3 y-z & =b, \\\\ 3 x+y+2 z & =b\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} x - 2y + 4z = a,\\\\ 2x + 3y - z = b,\\\\ 3x + y + 2z = c, \end{cases}
e pede para determinar quais condições sobre os reais a,b,c garantem existência de solução. O conteúdo principal aqui é teoria de sistemas lineares e determinante de matriz de coeficientes para verificar consistência.

Passo 2

Formamos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 4\\\\ 2 & 3 & -1\\\\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}
e calculamos seu determinante para saber se A é inversível (caso em que o sistema tem solução única para qualquer vetor de termos independentes (a,b,c)).

Passo 3

O determinante de A é
\det(A) = 1\cdot(3\cdot2 - (-1)\cdot1) -(-2)\cdot(2\cdot2 - (-1)\cdot3) +4\cdot(2\cdot1 - 3\cdot3)
= 1\cdot(6+1) +2\cdot(4+3) +4\cdot(2-9) = 7 + 14 - 28 = -7.
Como \det(A)=-7\neq0, a matriz A é inversível e o sistema admite sempre uma solução única, independentemente dos valores de a,b,c.

Resposta

O sistema tem solução para todos os a,b,c\in\mathbb{R}; não há nenhuma condição adicional.

Exercícios relacionados