Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, para que o sistema linear dado seja compatível.
\left\{\begin{aligned} a_{1}+2 a_{2} & = & -1 \\\\ -3 a_{1}+4 a_{2} & = & k \\\\ 2 a_{1}-a_{2} & = & -7\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} a_{1}+2a_{2}=-1,\\\\ -3a_{1}+4a_{2}=k,\\\\ 2a_{1}-a_{2}=-7, \end{cases}
e pede os valores reais de k para que ele seja compatível. O conteúdo aqui é compatibilidade de sistema sobredeterminado: vamos resolver duas equações para encontrar (a_{1},a_{2}) e depois impor que esses valores satisfaçam a terceira equação.

Passo 2

Escolhemos as equações (1) e (3):
\begin{cases} a_{1}+2a_{2}=-1,\\\\ 2a_{1}-a_{2}=-7. \end{cases}
Da primeira vem
a_{1}=-1-2a_{2}.
Substituindo na segunda:
2(-1-2a_{2})-a_{2}=-7 \quad\Longrightarrow\quad -2-4a_{2}-a_{2}=-7 \quad\Longrightarrow\quad -5a_{2}=-5 \quad\Longrightarrow\quad a_{2}=1.
Logo,
a_{1}=-1-2\cdot1=-3.

Passo 3

Para compatibilidade, esses (a_{1},a_{2}) devem satisfazer a equação (2):
-3a_{1}+4a_{2}=k.
Substituindo a_{1}=-3 e a_{2}=1:
-3(-3)+4\cdot1=k \quad\Longrightarrow\quad 9+4=k \quad\Longrightarrow\quad k=13.

Resposta

k=13

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