Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
$S=\left{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x-y+z=0\right})

Passo 1

O enunciado define o subespaço
S = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid x - y + z = 0\}.
O conteúdo é identificação de um gerador de um subespaço linear em \mathbb{R}^3. Para resolver, vamos transformar a condição em forma paramétrica.

Passo 2

Da equação
x - y + z = 0
isolamos x:
x = y - z.

Passo 3

Escolhemos parâmetros s e t para substituir y e z:
y = s,\quad z = t.
Então
(x,y,z) = (\,y - z,\;y,\;z) = (\,s - t,\;s,\;t).

Passo 4

Escrevendo em forma de combinação linear:
(s - t,\;s,\;t) = s\,(1,1,0) \;+\; t\,(-1,0,1).
Logo qualquer vetor de S é combinação de (1,1,0) e (-1,0,1), e esses dois vetores são linearmente independentes.

Resposta

\{(1,1,0),\,(-1,0,1)\}

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