Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
$S=\left{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x=5 y\right.) e \left.z=-2 y\right\}

Passo 1

O subespaço
S = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid x = 5y,\; z = -2y\}
é definido por duas restrições lineares em (x,y,z). Vamos parametrizar S em função de uma variável livre e identificar um gerador.

Passo 2

Como y é livre, escrevemos
x = 5y,\quad z = -2y.
Logo qualquer vetor de S é da forma
(x,y,z) = (5y,\,y,\,-2y).
Seja t = y. Então
(x,y,z) = t\,(5,1,-2),
com t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Isso mostra que
S = \{\,t\,(5,1,-2)\mid t\in\mathbb{R}\} = \operatorname{span}\{(5,1,-2)\}.
Portanto basta o vetor (5,1,-2) para gerar todo S.

Resposta

Um conjunto de geradores para S é
\{(5,1,-2)\}.

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