Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} / x+z=0\right. e \left.x-2 y=0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de geradores para o subespaço \;W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+z=0\text{ e }x-2y=0\}.
O conteúdo aqui é resolver um sistema homogêneo e parametrizar a solução para obter vetores que geram W.

Passo 2

As equações que definem W formam o sistema
\begin{cases} x + z = 0,\\\ x - 2y = 0. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação vem
x = 2y.
Substituindo em x+z=0 obtenho
2y + z = 0 \quad\Longrightarrow\quad z = -2y.
Logo todo vetor de W pode ser escrito como
(x,y,z) = (2y,\;y,\;-2y) = y\,(2,1,-2),
onde y\in\mathbb{R} é o parâmetro livre.

Passo 4

Isso mostra que W é gerado pelo vetor (2,1,-2).

Resposta

\{(2,1,-2)\}

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