Suponha que
seja L.I., mas
seja L.D. Mostre que
é combinação linear dos vetores de
.
Passo 1
O enunciado afirma que
é um conjunto linearmente independente, mas que ao acrescentarmos um vetor
o conjunto
passa a ser linearmente dependente. O conteúdo aqui é a definição de dependência e independência linear, e vamos usar o fato de que um conjunto é linearmente dependente se existe uma combinação linear não trivial que produza o vetor nulo.
Passo 2
Como
é linearmente dependente, existem escalares
, não todos nulos, tais que
Passo 3
Se
, então a combinação acima reduz-se a
com algum dos
não zero, o que contradiz a hipótese de que
é linearmente independente. Logo, obrigatoriamente
.
Passo 4
Como
, podemos resolver a equação do passo anterior isolando
:
Isso mostra que
é combinação linear de
.
Resposta
ou seja,
pertence ao subespaço gerado por
.