Suponha que S=\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\} seja L.I., mas \left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}, w\right\} seja L.D. Mostre que w é combinação linear dos vetores de S.

Passo 1

O enunciado afirma que S = \{v_{1},v_{2},\dots,v_{n}\} é um conjunto linearmente independente, mas que ao acrescentarmos um vetor w o conjunto \{v_{1},v_{2},\dots,v_{n},w\} passa a ser linearmente dependente. O conteúdo aqui é a definição de dependência e independência linear, e vamos usar o fato de que um conjunto é linearmente dependente se existe uma combinação linear não trivial que produza o vetor nulo.

Passo 2

Como \{v_{1},v_{2},\dots,v_{n},w\} é linearmente dependente, existem escalares a_{1},a_{2},\dots,a_{n},b, não todos nulos, tais que
a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2} + \cdots + a_{n}v_{n} + b\,w \;=\; 0.

Passo 3

Se b = 0, então a combinação acima reduz-se a
a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2} + \cdots + a_{n}v_{n} \;=\; 0
com algum dos a_{i} não zero, o que contradiz a hipótese de que S é linearmente independente. Logo, obrigatoriamente b \neq 0.

Passo 4

Como b \neq 0, podemos resolver a equação do passo anterior isolando w:
w \;=\; -\frac{a_{1}}{b}\,v_{1} \;-\;\frac{a_{2}}{b}\,v_{2} \;-\;\cdots-\;\frac{a_{n}}{b}\,v_{n}.
Isso mostra que w é combinação linear de v_{1},\dots,v_{n}.

Resposta

w \;=\; -\frac{a_{1}}{b}\,v_{1} \;-\;\frac{a_{2}}{b}\,v_{2} \;-\;\cdots-\;\frac{a_{n}}{b}\,v_{n},
ou seja, w pertence ao subespaço gerado por S.

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