Determine o conjunto dos pontos de descontinuidade. Justifique a resposta.
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar os pontos de descontinuidade da função
. Aqui, vamos usar conceitos de continuidade de funções e propriedades do logaritmo natural. Precisamos identificar onde a função não está definida ou onde ela muda de forma abrupta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural,
, só está definido para
. Então, para a nossa função
estar bem definida, o argumento do logaritmo, ou seja,
, deve ser maior que zero:
Passo 3
Além disso, precisamos garantir que o denominador
não seja zero, pois não podemos dividir por zero. Portanto, devemos ter:
Isso significa que o ponto
está excluído, pois nesse ponto
.
Passo 4
Agora, vamos analisar a condição
. Como
é sempre positivo, a desigualdade depende apenas do numerador
. Então, precisamos que:
Isso significa que a função está definida apenas quando
é maior que
.
Passo 5
Juntando as duas condições:
Podemos concluir que a função
é descontínua no ponto
e também para todos os pontos onde
, já que nesses casos o logaritmo não está definido.
Resposta
Os pontos de descontinuidade da função
são todos os pontos onde
e o ponto
.