Determine o conjunto dos pontos de descontinuidade. Justifique a resposta. f(x, y) = ln((x - y) / (x^2 + y^2)).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os pontos de descontinuidade da função . Aqui, vamos usar conceitos de continuidade de funções e propriedades do logaritmo natural. Precisamos identificar onde a função não está definida ou onde ela muda de forma abrupta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural, , só está definido para . Então, para a nossa função estar bem definida, o argumento do logaritmo, ou seja, , deve ser maior que zero:

Passo 3

Além disso, precisamos garantir que o denominador não seja zero, pois não podemos dividir por zero. Portanto, devemos ter:
Isso significa que o ponto está excluído, pois nesse ponto .

Passo 4

Agora, vamos analisar a condição . Como é sempre positivo, a desigualdade depende apenas do numerador . Então, precisamos que:
Isso significa que a função está definida apenas quando é maior que .

Passo 5

Juntando as duas condições:
Podemos concluir que a função é descontínua no ponto e também para todos os pontos onde , já que nesses casos o logaritmo não está definido.

Resposta

Os pontos de descontinuidade da função são todos os pontos onde e o ponto .

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