Determine o conjunto solução das equações:
c)
c)
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar o conjunto solução da equação
Informações fornecidas e observações iniciais:
- A incógnita é
(assume-se ). - As expressões
e estão bem definidas para todo e são sempre positivas.
Passo 2
Ideia para simplificar a equação (substituição): notar que
é potência de
. Escrevemos
Para ficar mais simples, fazemos a substituição
Explicação didática da substituição: como
para todo
, a nova variável
só pode assumir valores positivos; isso evita soluções espúrias ao voltar para
. Após a substituição, a equação original vira uma equação em
.
Passo 3
Transformando a equação usando
:
vai para
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Colocando tudo numa forma padrão:
Passo 4
Resolver a quadrática
. Vamos fatorar:
- Procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja . Esses números são e .
Portanto
Assim as raízes são
Como lembrado antes,
, ambas as raízes são admissíveis (nenhuma é negativa ou zero).
Passo 5
Voltar à variável
substituindo
:
Caso
:
Para base
e
, temos
. Logo
(Alternativamente,
.)
Caso
:
Como
, concluímos
(Alternativamente,
.)
Passo 6
Verificação rápida das soluções na equação original para garantir que não houve erro:
- Para
:
e
logo
satisfaz a equação.
- Para
:
e
logo
também satisfaz.