Determine o conjunto solução das equações:
c) \frac{25^{x}+5}{6}=5^{x}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o conjunto solução da equação
\frac{25^{x}+5}{6}=5^{x}.
Informações fornecidas e observações iniciais:
  • A incógnita é x (assume-se x\in\mathbb{R}).
  • As expressões 25^{x} e 5^{x} estão bem definidas para todo x\in\mathbb{R} e são sempre positivas.

Passo 2

Ideia para simplificar a equação (substituição): notar que 25 é potência de 5. Escrevemos
25^{x}=(5^{2})^{x}=5^{2x}=(5^{x})^{2}.
Para ficar mais simples, fazemos a substituição
y=5^{x}.
Explicação didática da substituição: como 5^{x}>0 para todo x, a nova variável y só pode assumir valores positivos; isso evita soluções espúrias ao voltar para x. Após a substituição, a equação original vira uma equação em y.

Passo 3

Transformando a equação usando y=5^{x}:
\frac{(5^{x})^{2}+5}{6}=5^{x}
vai para
\frac{y^{2}+5}{6}=y.
Multiplicando ambos os lados por 6 para eliminar o denominador:
y^{2}+5=6y.
Colocando tudo numa forma padrão:
y^{2}-6y+5=0.

Passo 4

Resolver a quadrática y^{2}-6y+5=0. Vamos fatorar:
  • Procuramos dois números cujo produto seja 5 e cuja soma seja 6. Esses números são 1 e 5.
    Portanto
y^{2}-6y+5=(y-1)(y-5).
Assim as raízes são
y=1\quad\text{ou}\quad y=5.
Como lembrado antes, y=5^{x}>0, ambas as raízes são admissíveis (nenhuma é negativa ou zero).

Passo 5

Voltar à variável x substituindo y=5^{x}:
Caso y=1:
5^{x}=1.
Para base 5>0 e 5\neq1, temos 5^{0}=1. Logo
x=0.
(Alternativamente, x=\log_{5}(1)=0.)
Caso y=5:
5^{x}=5.
Como 5=5^{1}, concluímos
x=1.
(Alternativamente, x=\log_{5}(5)=1.)

Passo 6

Verificação rápida das soluções na equação original para garantir que não houve erro:
  • Para x=0:
\frac{25^{0}+5}{6}=\frac{1+5}{6}=1
e
5^{0}=1,
logo x=0 satisfaz a equação.
  • Para x=1:
\frac{25^{1}+5}{6}=\frac{25+5}{6}=\frac{30}{6}=5
e
5^{1}=5,
logo x=1 também satisfaz.

Resposta

\{0,1\}

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