Determine o conjunto solução das equações:
a) 4^{x^{2}-2 x}=\left(\frac{1}{2}\right)^{3-x}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto solução da equação
4^{x^{2}-2x}=\left(\frac{1}{2}\right)^{3-x}.
Informações dadas:
  • Há uma igualdade entre duas potências com bases positivas.
  • Não há restrições explícitas sobre x além das naturais da expressão (expoentes reais são permitidos).

Passo 2

Vamos rever as propriedades de potências que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas):
  • Se a>0 e a\neq1, então a função a^{t} é injetora: se a^{u}=a^{v} então u=v. Isso permite igualar expoentes quando conseguirmos escrever os dois lados com a mesma base.
  • Propriedades básicas de potências: (a^{b})^{c}=a^{bc}, \qquad a^{-b}=\frac{1}{a^{b}}.Aqui cada símbolo significa: a é a base, b e c são expoentes (podem ser números reais). A primeira fórmula diz que ao elevar uma potência a outra potência multiplica-se os expoentes; a segunda diz que um expoente negativo corresponde a inverter a base.
  • Exemplo simples para fixar: (2^{3})^{2}=2^{3\cdot2}=2^{6}. E (1/2)^{2}=2^{-2}.

Passo 3

Aplicar as propriedades para reescrever ambos os lados com a mesma base. Observação: 4=2^{2} e \tfrac{1}{2}=2^{-1}. Então
4^{x^{2}-2x}=(2^{2})^{x^{2}-2x}=2^{2(x^{2}-2x)}.
E
\left(\frac{1}{2}\right)^{3-x}=(2^{-1})^{3-x}=2^{-(3-x)}.
Podemos simplificar 2^{-(3-x)} escrevendo o sinal negativo dentro do parêntese:
2^{-(3-x)}=2^{x-3}.

Passo 4

Agora temos a igualdade entre potências de mesma base:
2^{2(x^{2}-2x)}=2^{x-3}.
Como a base 2 é positiva e diferente de 1, a função exponencial de base 2 é injetora. Logo podemos igualar os expoentes:
2(x^{2}-2x)=x-3.
Isto transforma o problema em uma equação algébrica (quadrática).

Passo 5

Resolver a equação obtida. Primeiro desenvolve-se o lado esquerdo:
2x^{2}-4x=x-3.
Colocando todos os termos num lado:
2x^{2}-4x-(x-3)=0.
2x^{2}-4x-x+3=0.
2x^{2}-5x+3=0.
Tentamos fatorar. Procuramos dois números cujo produto seja 2\cdot3=6 e cuja soma seja -5: são -2 e -3. Assim:
2x^{2}-5x+3=2x^{2}-2x-3x+3=(2x^{2}-2x)+(-3x+3)=2x(x-1)-3(x-1)=(x-1)(2x-3).
Portanto
(x-1)(2x-3)=0,
o que dá as raízes
x=1\quad\text{ou}\quad 2x-3=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}.

Passo 6

Verificação rápida (substituir para garantir que não houve erro de sinais):
  • Para x=1: 4^{1^{2}-2\cdot1}=4^{1-2}=4^{-1}=\frac{1}{4}, \qquad \left(\frac{1}{2}\right)^{3-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}.OK.
  • Para x=\tfrac{3}{2}: x^{2}-2x=\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}-2\cdot\tfrac{3}{2}=\tfrac{9}{4}-3=-\tfrac{3}{4},
4^{-\tfrac{3}{4}}=(2^{2})^{-\tfrac{3}{4}}=2^{- \tfrac{3}{2}},
\left(\frac{1}{2}\right)^{3-\tfrac{3}{2}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{3}{2}}=2^{-\tfrac{3}{2}}.
Também OK.

Resposta

\{1,\tfrac{3}{2}\}

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