Determine o conjunto solução das equações:
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede: determinar o conjunto solução da equação
Informações dadas:
- Há uma igualdade entre duas potências com bases positivas.
- Não há restrições explícitas sobre
além das naturais da expressão (expoentes reais são permitidos).
Passo 2
Vamos rever as propriedades de potências que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas):
- Se
e , então a função é injetora: se então . Isso permite igualar expoentes quando conseguirmos escrever os dois lados com a mesma base. - Propriedades básicas de potências:
Aqui cada símbolo significa: é a base, e são expoentes (podem ser números reais). A primeira fórmula diz que ao elevar uma potência a outra potência multiplica-se os expoentes; a segunda diz que um expoente negativo corresponde a inverter a base. - Exemplo simples para fixar:
. E .
Passo 3
Aplicar as propriedades para reescrever ambos os lados com a mesma base. Observação:
e
. Então
E
Podemos simplificar
escrevendo o sinal negativo dentro do parêntese:
Passo 4
Agora temos a igualdade entre potências de mesma base:
Como a base
é positiva e diferente de
, a função exponencial de base
é injetora. Logo podemos igualar os expoentes:
Isto transforma o problema em uma equação algébrica (quadrática).
Passo 5
Resolver a equação obtida. Primeiro desenvolve-se o lado esquerdo:
Colocando todos os termos num lado:
Tentamos fatorar. Procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
: são
e
. Assim:
Portanto
o que dá as raízes
Passo 6
Verificação rápida (substituir para garantir que não houve erro de sinais):
- Para
: OK. - Para
:
Também OK.