Determine o conjunto-verdade de cada proposição abaixo (a variável livre é o número real
):
Passo 1
O enunciado pede: para a variável livre
(número real positivo), determinar o conjunto-verdade da proposição
Informações dadas:
- A variável livre é
e vale . - A variável quantificada é
com quantificador universal . Como não foi dito o contrário, considerar . - A proposição é uma implicação: antecedente
e consequente .
Passo 2
Interpretação lógica da implicação: uma implicação
é falsa exatamente quando
é verdadeira e
é falsa simultaneamente; caso contrário é verdadeira (se
for falsa ou
for verdadeira, a implicação vale). Portanto
é verdadeira se, e somente se, não existe
tal que
Vou trabalhar com essa condição “não existe
com …”.
Passo 3
Simplificar o consequente: calcular
e isolar
.
A desigualdade
é equivalente, dividindo ambos os lados por
(positivo, logo a desigualdade não troca de sinal), a
Assim o consequente é
. A condição de falsidade da implicação é existir
com
Passo 4
Reescrever em termos de conjuntos: o conjunto dos
que tornam o antecedente verdadeiro é
. O conjunto dos
que tornam o consequente verdadeiro é
.
Para que a implicação valha para todo
é necessário e suficiente que todo
com
também satisfaça
, isto é
Para que um intervalo aberto à esquerda
esteja contido em outro
é necessário e suficiente que
. Aplicando aqui:
Passo 5
Resolver a desigualdade em
:
Lembrando que já temos a restrição inicial
, juntamos as duas condições:
Passo 6
Verificação rápida dos casos-padrão (justificando que a resposta está correta).
- Se
: então . Todo com satisfaz , logo a implicação vale para todo . - Se
: então . Escolha, por exemplo,
que é um número estritamente entre
e
; então
(antecedente verdadeiro) mas
(consequente falso), assim a implicação falha para esse
. Portanto para
a proposição universal é falsa.