Determine o conjunto-verdade de cada proposição abaixo (a variável livre é o número real d>0 ):
\forall x, x<1+d \Rightarrow 2 x<2+\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede: para a variável livre \,d>0 (número real positivo), determinar o conjunto-verdade da proposição
\forall x,\;(x<1+d)\Rightarrow\left(2x<2+\frac{1}{2}\right).
Informações dadas:
  • A variável livre é \,d e vale \,d>0.
  • A variável quantificada é \,x com quantificador universal \forall x. Como não foi dito o contrário, considerar \,x\in\mathbb{R}.
  • A proposição é uma implicação: antecedente \,x<1+d e consequente \,2x<2+\frac{1}{2}.

Passo 2

Interpretação lógica da implicação: uma implicação A\Rightarrow B é falsa exatamente quando A é verdadeira e B é falsa simultaneamente; caso contrário é verdadeira (se A for falsa ou B for verdadeira, a implicação vale). Portanto
\forall x,\;(x<1+d)\Rightarrow\left(2x<2+\frac{1}{2}\right)
é verdadeira se, e somente se, não existe x\in\mathbb{R} tal que
x<1+d\quad\text{e}\quad 2x\ge 2+\frac{1}{2}.
Vou trabalhar com essa condição “não existe x com …”.

Passo 3

Simplificar o consequente: calcular 2+\frac{1}{2} e isolar x.
2+\frac{1}{2}=\frac{4}{2}+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}.
A desigualdade 2x<\frac{5}{2} é equivalente, dividindo ambos os lados por 2 (positivo, logo a desigualdade não troca de sinal), a
x<\frac{5}{4}.
Assim o consequente é x<\tfrac{5}{4}. A condição de falsidade da implicação é existir x com
x<1+d\quad\text{e}\quad x\ge \frac{5}{4}.

Passo 4

Reescrever em termos de conjuntos: o conjunto dos x que tornam o antecedente verdadeiro é (-\infty,\,1+d). O conjunto dos x que tornam o consequente verdadeiro é (-\infty,\,\tfrac{5}{4}).
Para que a implicação valha para todo x é necessário e suficiente que todo x com x<1+d também satisfaça x<\tfrac{5}{4}, isto é
(-\infty,\,1+d)\subseteq\left(-\infty,\,\frac{5}{4}\right).
Para que um intervalo aberto à esquerda (-\infty,a) esteja contido em outro (-\infty,b) é necessário e suficiente que a\le b. Aplicando aqui:
1+d \le \frac{5}{4}.

Passo 5

Resolver a desigualdade em d:
1+d \le \frac{5}{4} \quad\Longrightarrow\quad d \le \frac{5}{4}-1=\frac{1}{4}.
Lembrando que já temos a restrição inicial \,d>0, juntamos as duas condições:
0<d\le\frac{1}{4}.

Passo 6

Verificação rápida dos casos-padrão (justificando que a resposta está correta).
  • Se 0<d\le\tfrac{1}{4}: então 1+d\le\tfrac{5}{4}. Todo x com x<1+d satisfaz x<\tfrac{5}{4}, logo a implicação vale para todo x.
  • Se d>\tfrac{1}{4}: então 1+d>\tfrac{5}{4}. Escolha, por exemplo,
x=\frac{1+d+\tfrac{5}{4}}{2},
que é um número estritamente entre \tfrac{5}{4} e 1+d; então x<1+d (antecedente verdadeiro) mas x\ge\tfrac{5}{4} (consequente falso), assim a implicação falha para esse x. Portanto para d>\tfrac{1}{4} a proposição universal é falsa.

Resposta

\displaystyle \{\,d\in\mathbb{R}\mid 0<d\le \tfrac{1}{4}\,\}

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