Determine se são verdadeiras ou falsas:
\exists d>0 \mid \forall x, x<1+d \Rightarrow 2 x<2

Passo 1

O enunciado apresenta a fórmula lógica
\exists d>0\\ \mid\\ \forall x,\\ x<1+d \Rightarrow 2x<2
O que pede: determinar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Informações dadas explícitas:
  • Há um quantificador existencial sobre d: procura-se algum d>0.
  • Há um quantificador universal sobre x: a propriedade deve valer para todo x.
  • A propriedade é a implicação: se x<1+d então 2x<2.
    Pressuposição natural: o universo de x e d é o conjunto dos números reais.

Passo 2

Entendendo a lógica e como provar que a afirmação é falsa (explicação didática e amiga).
  • Uma implicação P\Rightarrow Q é falsa exatamente quando P é verdadeira e Q é falsa.
  • A afirmação com \forall x exige que, para um dado d, toda escolha de x verifique a implicação.
  • Para provar que a fórmula inteira é falsa basta mostrar que, para qualquer d>0 (ou seja, para todo candidato), existe pelo menos um x tal que x<1+d mas 2x\ge2 (no caso, 2x>2 para contradizer a implicação).
    Estratégia simples e concreta: dado um d>0, escolher um x que esteja entre 1 e 1+d (por exemplo x=1+\tfrac{d}{2}). Esse x satisfaz x<1+d e, como vamos ver, faz com que 2x>2, violando a implicação.

Passo 3

Prova formal (com as contas explicadas passo a passo). Seja arbitrário d>0. Defina
x = 1 + \frac{d}{2}.
Verificações:
  1. Porque d>0 temos \frac{d}{2}<d. Assim
x = 1 + \frac{d}{2} < 1 + d,
ou seja, a hipótese x<1+d é verdadeira para esse x.
2. Calcule 2x:
2x = 2\left(1+\frac{d}{2}\right) = 2 + d.
Como d>0, tem-se 2+d>2. Logo 2x>2, ou seja, a conclusão da implicação ( 2x<2) é falsa para esse x.
Portanto, para o d>0 escolhido arbitrariamente, existe um x (especificamente x=1+\tfrac{d}{2}) tal que a hipótese da implicação é verdadeira e a conclusão é falsa. Isso significa que a implicação falha para todo d>0.

Passo 4

Conclusão lógica final: não existe nenhum d>0 que faça valer \forall x,\\ x<1+d \Rightarrow 2x<2. Assim a afirmação original é falsa. (Intuição rápida: qualquer d>0 abre um intervalo à direita de 1 onde há pontos cujo dobro ultrapassa 2.)

Resposta

Falso

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