Determine se são verdadeiras ou falsas:
Passo 1
O enunciado apresenta a fórmula lógica
O que pede: determinar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Informações dadas explícitas:
Informações dadas explícitas:
- Há um quantificador existencial sobre
: procura-se algum . - Há um quantificador universal sobre
: a propriedade deve valer para todo . - A propriedade é a implicação: se
então .
Pressuposição natural: o universo dee é o conjunto dos números reais.
Passo 2
Entendendo a lógica e como provar que a afirmação é falsa (explicação didática e amiga).
- Uma implicação
é falsa exatamente quando é verdadeira e é falsa. - A afirmação com
exige que, para um dado , toda escolha de verifique a implicação. - Para provar que a fórmula inteira é falsa basta mostrar que, para qualquer
(ou seja, para todo candidato), existe pelo menos um tal que mas (no caso, para contradizer a implicação).
Estratégia simples e concreta: dado um, escolher um que esteja entre e (por exemplo ). Esse satisfaz e, como vamos ver, faz com que , violando a implicação.
Passo 3
Prova formal (com as contas explicadas passo a passo). Seja arbitrário
. Defina
Verificações:
- Porque
temos . Assim
ou seja, a hipótese
é verdadeira para esse
.
2. Calcule :
2. Calcule
Como
, tem-se
. Logo
, ou seja, a conclusão da implicação (
) é falsa para esse
.
Portanto, para o
escolhido arbitrariamente, existe um
(especificamente
) tal que a hipótese da implicação é verdadeira e a conclusão é falsa. Isso significa que a implicação falha para todo
.
Passo 4
Conclusão lógica final: não existe nenhum
que faça valer
. Assim a afirmação original é falsa. (Intuição rápida: qualquer
abre um intervalo à direita de
onde há pontos cujo dobro ultrapassa
.)
Resposta
Falso