1. Determine o conjunto dos z tais que \operatorname{Re}(\exp (z))=0, ou seja, tais que \exp (z) é imaginário puro.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os z\in\mathbb{C} tais que \Re(\exp(z))=0, isto é, \exp(z) é um número puramente imaginário. Para isso vamos usar a representação z=x+iy (com x,y\in\mathbb{R}) e a fórmula de Euler para a exponencial de um número imaginário.

Passo 2

Seja
z = x + i y,
com x,y\in\mathbb{R}. Então podemos escrever
\exp(z) = \exp(x + i y) = \exp(x)\,\exp(i y).

Passo 3

Pela fórmula de Euler temos
\exp(i y) = \cos y + i\sin y,
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\exp(z) = e^{x}\bigl(\cos y + i\sin y\bigr).
Dessa forma a parte real de \exp(z) é
\Re\bigl(\exp(z)\bigr) = e^{x}\cos y.

Passo 4

Impondo \Re(\exp(z))=0 vem
e^{x}\cos y = 0.
Como e^{x}>0 para todo x, a única forma de o produto ser zero é
\cos y = 0.

Passo 5

A equação \cos y=0 tem solução
y = \frac{\pi}{2} + k\pi,
com k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Portanto o conjunto buscado é formado por todos os números da forma
z = x + i\Bigl(\tfrac{\pi}{2} + k\pi\Bigr),
onde x\in\mathbb{R} e k\in\mathbb{Z}.

Resposta

\{\,z\in\mathbb{C}\mid \Re(\exp(z))=0\} =\bigl\{\,x + i\bigl(\tfrac{\pi}{2}+k\pi\bigr)\mid x\in\mathbb{R},\;k\in\mathbb{Z}\bigr\}.

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