- Prove o seguinte Teorema:
Teorema: Seja
contínua por parte e de ordem exponencial em
. Se
é periódica de período
, então vale a fórmula
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se
é contínua por parte, de ordem exponencial em
e periódica de período
, então sua transformada de Laplace
pode ser escrita como
Para isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace, a periodicidade de
e a soma de uma série geométrica.
Passo 2
Começamos quebrando a integral de
a
emintervalos de comprimento
:
Isso é válido pois
é de ordem exponencial e a integral converge.
Passo 3
Em cada intervalo
usamos a periodicidade
. Fazemos a mudança de variável
, onde
varia de
a
. Então
Denotemos
Passo 4
Substituindo de volta em
obtemos
Para
temos
, de modo que a série geométrica converge.
Passo 5
A soma da série geométrica é
Logo
que é justamente a fórmula desejada.