1. Prove o seguinte Teorema:
Teorema: Seja f contínua por parte e de ordem exponencial em [0, \infty). Se f é periódica de período P, então vale a fórmula
F(s)=\mathcal{L}(f(t))=\frac{1}{1-e^{-s P}}\left[\int_{0}^{P} e^{-s t} f(t) d t\right], s>\alpha

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se f é contínua por parte, de ordem exponencial em [0,\infty) e periódica de período P, então sua transformada de Laplace
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}f(t)\,dt
pode ser escrita como
F(s)=\frac{1}{1-e^{-sP}}\Bigl[\int_{0}^{P}e^{-s t}f(t)\,dt\Bigr],\qquad \Re(s)>\alpha.
Para isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace, a periodicidade de f e a soma de uma série geométrica.

Passo 2

Começamos quebrando a integral de 0 a \infty emintervalos de comprimento P:
F(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-s t}f(t)\,dt =\sum_{k=0}^{\infty}\int_{kP}^{(k+1)P}e^{-s t}f(t)\,dt.
Isso é válido pois f é de ordem exponencial e a integral converge.

Passo 3

Em cada intervalo [kP,(k+1)P] usamos a periodicidade f(t)=f(t - kP). Fazemos a mudança de variável t = u + kP, onde u varia de 0 a P. Então
\int_{kP}^{(k+1)P}e^{-s t}f(t)\,dt =\int_{0}^{P}e^{-s(u+kP)}f(u)\,du =e^{-s kP}\int_{0}^{P}e^{-s u}f(u)\,du.
Denotemos
I=\int_{0}^{P}e^{-s u}f(u)\,du.

Passo 4

Substituindo de volta em F(s) obtemos
F(s) =\sum_{k=0}^{\infty}e^{-s kP}\,I =I\sum_{k=0}^{\infty}\bigl(e^{-sP}\bigr)^{k}.
Para \Re(s)>\alpha temos \bigl|e^{-sP}\bigr|<1, de modo que a série geométrica converge.

Passo 5

A soma da série geométrica é
\sum_{k=0}^{\infty}\bigl(e^{-sP}\bigr)^{k} =\frac{1}{1-e^{-sP}}.
Logo
F(s) =I\;\frac{1}{1-e^{-sP}} =\frac{1}{1-e^{-sP}}\Bigl[\int_{0}^{P}e^{-s t}f(t)\,dt\Bigr],
que é justamente a fórmula desejada.

Resposta

F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{1}{1-e^{-sP}}\Bigl[\int_{0}^{P}e^{-s t}f(t)\,dt\Bigr], \qquad \Re(s)>\alpha.

Exercícios relacionados