Determine se os conjuntos a seguir são subespaços vetoriais e se forem exiba uma base. Se não forem, diga por que não.
Se houver subespaço, justifique por que os elementos em questão formam uma base.
e
Se houver subespaço, justifique por que os elementos em questão formam uma base.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificarmos se o conjunto
é um subespaço vetorial. Se for, também precisamos mostrar uma base para ele. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os critérios que definem um subespaço vetorial e aplicar passo a passo para ver se
satisfaz essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de
precisa cumprir três condições básicas:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar no conjunto. - Fechado para adição: Se você pegar dois vetores qualquer no conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
- Fechado para multiplicação escalar: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se contém o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele pertence a
:
-
(satisfaz a primeira condição). -
porque (satisfaz a segunda condição).
Então, o vetor zero está em
. Primeira condição atendida!
Passo 4
2. Verificando fechamento para adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
:
Sabemos que:
-
e -
e
Agora, somamos esses vetores:
Vamos checar as condições para este vetor:
-
-
(como e , essa igualdade é verdadeira)
Agora, o problema está no primeiro ponto:
Sabemos que
e
, mas
nem sempre será zero. Isso significa que a condição
pode não ser satisfeita após a soma.
Então,
não é fechado para adição.
Passo 5
3. Verificando fechamento para multiplicação escalar:
Embora já tenhamos descoberto que
não é um subespaço devido à falha na adição, vamos completar para entender melhor.
Pegamos um vetor
em
e multiplicamos por um escalar
:
Verificando as condições:
-
(satisfaz ) -
(como , essa igualdade também é verdadeira)
Portanto,
é fechado para multiplicação escalar.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial de
porque não é fechado para adição.