Determine se os conjuntos a seguir são subespaços vetoriais e se forem exiba uma base. Se não forem, diga por que não.
Se houver subespaço, justifique por que os elementos em questão formam uma base.
W=(x, y, z, t) in R^4 mid x cdot z=0 e y=t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificarmos se o conjunto é um subespaço vetorial. Se for, também precisamos mostrar uma base para ele. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os critérios que definem um subespaço vetorial e aplicar passo a passo para ver se satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de precisa cumprir três condições básicas:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar no conjunto.
  2. Fechado para adição: Se você pegar dois vetores qualquer no conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechado para multiplicação escalar: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se contém o vetor zero:
O vetor zero em é . Vamos ver se ele pertence a :
  • (satisfaz a primeira condição).
  • porque (satisfaz a segunda condição).
Então, o vetor zero está em . Primeira condição atendida!

Passo 4

2. Verificando fechamento para adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em (x1 + x2) cdot (z1 + z2) = x1 z1 + x1 z2 + x2 z1 + x2 z2 :
Sabemos que:
  • e
  • e
Agora, somamos esses vetores:
Vamos checar as condições para este vetor:
  • (como e , essa igualdade é verdadeira)
Agora, o problema está no primeiro ponto:
Sabemos que e , mas nem sempre será zero. Isso significa que a condição pode não ser satisfeita após a soma.
Então, não é fechado para adição.

Passo 5

3. Verificando fechamento para multiplicação escalar:
Embora já tenhamos descoberto que k cdot u = (k x, k y, k z, k t) não é um subespaço devido à falha na adição, vamos completar para entender melhor.
Pegamos um vetor em e multiplicamos por um escalar :
Verificando as condições:
  • (satisfaz )
  • (como , essa igualdade também é verdadeira)
Portanto, é fechado para multiplicação escalar.

Resposta

O conjunto não é um subespaço vetorial de porque não é fechado para adição.

Exercícios relacionados