Considere
o subespaço de
gerado por
. Exiba uma base e dê a dimensão de
. Justifique porque os elementos em questão formam uma base.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente trabalhar com um subespaço
de
(que são os polinômios de grau no máximo 2). A gente tem um conjunto de geradores:
,
,
, e
. A missão aqui é encontrar uma base para
e descobrir qual é a sua dimensão. Para isso, vamos precisar entender conceitos de combinação linear, independência linear e como formar bases.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma base é um conjunto de vetores (ou, nesse caso, polinômios) que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço. A dimensão é simplesmente o número de elementos nessa base. Para encontrar uma base, precisamos verificar se os geradores dados são linearmente independentes. Se não forem, vamos remover alguns até que fiquem independentes.
Passo 3
Vamos organizar os polinômios em termos de suas potências de
:
-
pode ser escrito como -
já está na forma -
é -
é
Isso nos ajuda a visualizar melhor para montar um sistema de equações.
Passo 4
Para verificar a independência linear, montamos uma combinação linear igual a zero:
Expandindo, temos:
Isso quer dizer que os coeficientes de cada potência de
devem ser zero:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da equação 3, temos .
Substituindo na equação 1:
, então
.
Da equação 2: , então
.
Da equação 3, temos
Substituindo
Da equação 2:
Portanto, todas as variáveis são expressas em função de
. Isso significa que existe uma combinação não trivial que resulta em zero, então os polinômios não são linearmente independentes.
Passo 6
Como os polinômios não são todos independentes, vamos eliminar alguns para encontrar uma base. Podemos, por exemplo, remover
, já que ele é uma combinação de
e
:
Então, ficamos com
,
, e
. Agora, vamos verificar se esses três são independentes.
Passo 7
Montamos novamente a combinação linear igual a zero:
Expandindo:
Igualando os coeficientes a zero:
Da equação 3,
. Substituindo em 1,
, então
. E da equação 2,
. Só a solução trivial existe, então os polinômios são linearmente independentes.
Passo 8
Agora que temos três polinômios linearmente independentes que geram
, eles formam uma base para
. A dimensão de
é o número de elementos na base, que nesse caso é 3.
Resposta
Uma base para
é
e a dimensão de
é 3. Esses elementos formam uma base porque são linearmente independentes e geram todo o subespaço
.