Determine a constante de atenuação, constante de fase e a impedância intrínseca da água destilada em 1,0 \mathrm{GHz}\left(\mu_{r}=1\right).

Passo 1

O enunciado pede três quantidades para água destilada à frequência 1{,}0\\ \mathrm{GHz} com \mu_{r}=1:
  • constante de atenuação \alpha (em \mathrm{Np/m});
  • constante de fase \beta (em \mathrm{rad/m});
  • impedância intrínseca \eta (em \Omega, complexa em geral).
Informações que falta no enunciado e que são necessárias:
  • a permissividade complexa relativa da água \varepsilon_{r}=\varepsilon'-\mathrm{j}\varepsilon'' à 1{,}0\\ \mathrm{GHz}.
    Vou usar os parâmetros de Debye para água à temperatura ambiente (valores padrão usados em problemas): \varepsilon_{s}=78{,}3 (constante estática), \varepsilon_{\infty}=4{,}21 (constante no limite de alta frequência) e \tau=8{,}27\times10^{-12}\\ \mathrm{s} (tempo de relaxação). Esses parâmetros permitem calcular \varepsilon' e \varepsilon'' em 1{,}0\\ \mathrm{GHz}. Também usarei as constantes do vácuo \varepsilon_{0}=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m} e \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
A resolução começa a seguir calculando a permissividade complexa, depois o número de onda livre k_{0}, então \alpha, \beta e \eta.

Passo 2

Calcular a permissividade complexa relativa \varepsilon_{r}(\omega) pela forma de Debye (uma aula rápida sobre isso: a água é um dielétrico dispersivo cujos dipolos relaxam com tempo \tau; a resposta em frequência é dada por Debye).
As fórmulas de Debye para a parte real e imaginária são:
\varepsilon'(\omega)=\varepsilon_{\infty}+\frac{\varepsilon_{s}-\varepsilon_{\infty}}{1+\omega^{2}\tau^{2}},
\varepsilon''(\omega)=\frac{(\varepsilon_{s}-\varepsilon_{\infty})\,\omega\tau}{1+\omega^{2}\tau^{2}}.
Aqui \omega=2\pi f e f=1{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}. Vamos calcular passo a passo.
Calcular \omega\tau:
\omega=2\pi\cdot 1{,}0\times10^{9}=2\pi\times10^{9}\\ \mathrm{rad/s},
\omega\tau=(2\pi\times10^{9})\cdot(8{,}27\times10^{-12})\approx 0{,}05196.
Calcular 1+\omega^{2}\tau^{2}\approx 1+0{,}0027\approx 1{,}0027.
Agora \varepsilon':
\varepsilon' \approx 4{,}21+\frac{78{,}3-4{,}21}{1{,}0027} =4{,}21+\frac{74{,}09}{1{,}0027}\approx 78{,}10.
E \varepsilon'':
\varepsilon''\approx\frac{74{,}09\cdot 0{,}05196}{1{,}0027}\approx 3{,}84.
Portanto usamos
\varepsilon_{r}=\varepsilon'-\mathrm{j}\varepsilon''\approx 78{,}10-\mathrm{j}\,3{,}84.
Breve comentário didático: \varepsilon' mede a capacidade de armazenar energia elétrica (permitividade efetiva) e \varepsilon'' mede as perdas dielétricas (transformadas em calor). Em materiais como água, \varepsilon'' não vem só de condutividade iônica, mas principalmente da perda por relaxação dos dipolos.

Passo 3

Calcular o número de onda no vácuo k_{0} (que aparece nas fórmulas para \alpha e \beta):
k_{0}=\frac{\omega}{c}=\omega\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}=\frac{2\pi f}{c}.
Usando c\approx 2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} e f=1{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{Hz},
k_{0}=\frac{2\pi\times10^{9}}{2{,}99792458\times10^{8}}\approx 20{,}943951\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 4

Derivar as fórmulas práticas para \alpha e \beta em meio dielétrico com \mu_{r}=1 e \varepsilon_{r}=\varepsilon'-\mathrm{j}\varepsilon''.
Quando se faz a raiz quadrada do número complexo \varepsilon_{r} e multiplica por k_{0} obtém-se \gamma=\alpha+\mathrm{j}\beta. As fórmulas explícitas são (úteis para cálculo manual):
\alpha=k_{0}\sqrt{\frac{\varepsilon'}{2}\left(\sqrt{1+\left(\frac{\varepsilon''}{\varepsilon'}\right)^{2}}-1\right)},
\beta=k_{0}\sqrt{\frac{\varepsilon'}{2}\left(\sqrt{1+\left(\frac{\varepsilon''}{\varepsilon'}\right)^{2}}+1\right)}.
Explicação rápida: são obtidas escrevendo \sqrt{\varepsilon'-\mathrm{j}\varepsilon''} em termos das partes real e imaginária usando a decomposição em módulo e argumento e identificando \alpha e \beta a partir de \gamma=\mathrm{j}k_{0}\sqrt{\varepsilon_{r}}.

Passo 5

Calcular \alpha numericamente usando os valores obtidos.
Primeiro calcular a razão \dfrac{\varepsilon''}{\varepsilon'}\approx \dfrac{3{,}84}{78{,}10}\approx 0{,}0492.
Então \sqrt{1+(\varepsilon''/\varepsilon')^{2}}\approx \sqrt{1+0{,}00242}\approx 1{,}00121.
Agora o termo dentro da raiz para \alpha:
\frac{\varepsilon'}{2}\left(\sqrt{1+\left(\frac{\varepsilon''}{\varepsilon'}\right)^{2}}-1\right)\approx \frac{78{,}10}{2}\times(1{,}00121-1) \approx 39{,}05\times 0{,}00121\approx 0{,}0472.
Raiz quadrada: \sqrt{0{,}0472}\approx 0{,}2173.
Multiplicando por k_{0}:
\alpha \approx 20{,}943951\times 0{,}2173\approx 4{,}55\\ \mathrm{Np/m}.
Também é comum converter para \mathrm{dB/m} por \alpha_{\mathrm{dB/m}}=8{,}686\cdot\alpha, então
\alpha_{\mathrm{dB/m}}\approx 8{,}686\times 4{,}55\approx 39{,}6\\ \mathrm{dB/m}.

Passo 6

Calcular \beta numericamente.
Termo para \beta:
\frac{\varepsilon'}{2}\left(\sqrt{1+\left(\frac{\varepsilon''}{\varepsilon'}\right)^{2}}+1\right)\approx 39{,}05\times(1{,}00121+1)\approx 39{,}05\times 2{,}00121\approx 78{,}14.
Raiz quadrada: \sqrt{78{,}14}\approx 8{,}842.
Multiplicando por k_{0}:
\beta\approx 20{,}943951\times 8{,}842\approx 185{,}2\\ \mathrm{rad/m}.
Breve interpretação física: \beta determina a variação de fase por metro; com \beta\approx185{,}2\\ \mathrm{rad/m} a fase varia rapidamente, enquanto \alpha grande indica forte atenuação — portanto ondas de 1\\ \mathrm{GHz} penetram pouco na água.

Passo 7

Calcular a impedância intrínseca \eta. Fórmula geral:
\eta=\sqrt{\frac{\mu_{0}\mu_{r}}{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}}}=\eta_{0}\sqrt{\frac{\mu_{r}}{\varepsilon_{r}}}
onde \eta_{0}=\sqrt{\mu_{0}/\varepsilon_{0}}\approx 376{,}73\\ \Omega é a impedância do vácuo. Aqui \mu_{r}=1 e \varepsilon_{r} é complexa, então \eta será complexa.
É prático calcular \sqrt{\varepsilon_{r}} na forma a-\mathrm{j}b (a aula curta: para \varepsilon_{r}=\varepsilon'-\mathrm{j}\varepsilon'' usa-se a fórmula do módulo e das metades):
|\varepsilon_{r}|=\sqrt{\varepsilon'^{2}+\varepsilon''^{2}}\approx \sqrt{78{,}10^{2}+3{,}84^{2}}\approx 78{,}24.
\sqrt{\varepsilon_{r}}=\sqrt{\frac{|\varepsilon_{r}|+\varepsilon'}{2}}-\mathrm{j}\,\sqrt{\frac{|\varepsilon_{r}|-\varepsilon'}{2}} \approx 8{,}844-\mathrm{j}\,0{,}263.
Então
\eta=\frac{\eta_{0}}{\sqrt{\varepsilon_{r}}}\approx\frac{376{,}73}{8{,}844-\mathrm{j}\,0{,}263}.
Fazendo a divisão complexa (multiplicando numerador e denominador pelo conjugado):
\eta\approx 42{,}6+\mathrm{j}\,1{,}26\\ \Omega.
Magnitude e fase:
|\eta|\approx 42{,}6\\ \Omega,\qquad \angle\eta\approx \arctan\!\left(\frac{1{,}26}{42{,}6}\right)\approx 1{,}7^\circ.
Física rápida: a impedância é bem menor que \eta_{0} (vácuo) porque a água tem alta permitividade efetiva; o pequeno ângulo de fase indica perdas moderadas comparadas com o armazenamento (parâmetro \varepsilon'' pequeno frente a \varepsilon').

Resposta

\alpha\approx 4{,}55\\ \mathrm{Np/m}
\beta\approx 185{,}2\\ \mathrm{rad/m}
\eta\approx 42{,}6+\mathrm{j}\,1{,}26\\ \Omega

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