Determine a constante de atenuação, constante de fase e a impedância intrínseca da água destilada em 1,0 \mathrm{GHz}\left(\mu_{r}=1\right).
Passo 1
O enunciado pede três quantidades para água destilada à frequência 1{,}0\\ \mathrm{GHz} com \mu_{r}=1:
constante de atenuação \alpha (em \mathrm{Np/m});
constante de fase \beta (em \mathrm{rad/m});
impedância intrínseca \eta (em \Omega, complexa em geral).
Informações que falta no enunciado e que são necessárias:
a permissividade complexa relativa da água \varepsilon_{r}=\varepsilon'-\mathrm{j}\varepsilon'' à 1{,}0\\ \mathrm{GHz}.
Vou usar os parâmetros de Debye para água à temperatura ambiente (valores padrão usados em problemas): \varepsilon_{s}=78{,}3 (constante estática), \varepsilon_{\infty}=4{,}21 (constante no limite de alta frequência) e \tau=8{,}27\times10^{-12}\\ \mathrm{s} (tempo de relaxação). Esses parâmetros permitem calcular \varepsilon' e \varepsilon'' em 1{,}0\\ \mathrm{GHz}. Também usarei as constantes do vácuo \varepsilon_{0}=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m} e \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
A resolução começa a seguir calculando a permissividade complexa, depois o número de onda livre k_{0}, então \alpha, \beta e \eta.
Passo 2
Calcular a permissividade complexa relativa \varepsilon_{r}(\omega) pela forma de Debye (uma aula rápida sobre isso: a água é um dielétrico dispersivo cujos dipolos relaxam com tempo \tau; a resposta em frequência é dada por Debye).
As fórmulas de Debye para a parte real e imaginária são:
Breve comentário didático: \varepsilon' mede a capacidade de armazenar energia elétrica (permitividade efetiva) e \varepsilon'' mede as perdas dielétricas (transformadas em calor). Em materiais como água, \varepsilon'' não vem só de condutividade iônica, mas principalmente da perda por relaxação dos dipolos.
Passo 3
Calcular o número de onda no vácuo k_{0} (que aparece nas fórmulas para \alpha e \beta):
Derivar as fórmulas práticas para \alpha e \beta em meio dielétrico com \mu_{r}=1 e \varepsilon_{r}=\varepsilon'-\mathrm{j}\varepsilon''.
Quando se faz a raiz quadrada do número complexo \varepsilon_{r} e multiplica por k_{0} obtém-se \gamma=\alpha+\mathrm{j}\beta. As fórmulas explícitas são (úteis para cálculo manual):
Explicação rápida: são obtidas escrevendo \sqrt{\varepsilon'-\mathrm{j}\varepsilon''} em termos das partes real e imaginária usando a decomposição em módulo e argumento e identificando \alpha e \beta a partir de \gamma=\mathrm{j}k_{0}\sqrt{\varepsilon_{r}}.
Passo 5
Calcular \alpha numericamente usando os valores obtidos.
Primeiro calcular a razão \dfrac{\varepsilon''}{\varepsilon'}\approx \dfrac{3{,}84}{78{,}10}\approx 0{,}0492.
Então \sqrt{1+(\varepsilon''/\varepsilon')^{2}}\approx \sqrt{1+0{,}00242}\approx 1{,}00121.
Breve interpretação física: \beta determina a variação de fase por metro; com \beta\approx185{,}2\\ \mathrm{rad/m} a fase varia rapidamente, enquanto \alpha grande indica forte atenuação — portanto ondas de 1\\ \mathrm{GHz} penetram pouco na água.
Passo 7
Calcular a impedância intrínseca \eta. Fórmula geral:
onde \eta_{0}=\sqrt{\mu_{0}/\varepsilon_{0}}\approx 376{,}73\\ \Omega é a impedância do vácuo. Aqui \mu_{r}=1 e \varepsilon_{r} é complexa, então \eta será complexa.
É prático calcular \sqrt{\varepsilon_{r}} na forma a-\mathrm{j}b (a aula curta: para \varepsilon_{r}=\varepsilon'-\mathrm{j}\varepsilon'' usa-se a fórmula do módulo e das metades):
Física rápida: a impedância é bem menor que \eta_{0} (vácuo) porque a água tem alta permitividade efetiva; o pequeno ângulo de fase indica perdas moderadas comparadas com o armazenamento (parâmetro \varepsilon'' pequeno frente a \varepsilon').