(10,0) Determine soma de convolução da função x[n]=(1 / 2)^{n} . u[n] com a função h[n]=u[n]-u[n-3].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma de convolução (convolução discreta) entre as sequências
x[n]=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}u[n]
e
h[n]=u[n]-u[n-3].
Dados importantes fornecidos:
  • x[n] é causal (multiplicada por u[n]), ou seja, x[n]=0 para n<0 e x[n]=(1/2)^{n} para n\ge0.
  • h[n]=u[n]-u[n-3] é também causal e tem suporte finito: h[n]=1 para n=0,1,2 e h[n]=0 para todo n\notin\{0,1,2\}.
  • A tarefa é encontrar y[n]=x[n]*h[n], a sequência resultante da convolução discreta.

Passo 2

Escrevendo a definição da convolução discreta:
y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\,h[n-k].
Vou usar a informação sobre o suporte de h para reduzir essa soma infinita a poucas parcelas. Como h[m]=1 somente para m=0,1,2, então h[n-k]=1 somente quando n-k\in\{0,1,2\}, isto é, quando k\in\{n,n-1,n-2\}. Portanto a soma tem no máximo três termos:
y[n]=x[n]+x[n-1]+x[n-2],
mas com a observação importante de que cada termo existe somente se o índice do x for \ge0, já que x[k]=0 para k<0. Uma forma que deixa isso explícito é:
y[n]=\sum_{m=0}^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{\,n-m}u[n-m].

Passo 3

Análise por faixas de n. Primeiro a faixa n<0.
  • Se n<0 então todos os termos u[n-m]=0 (pois n-m<0 para m=0,1,2), logo
y[n]=0\quad\text{para }n<0.

Passo 4

Agora n=0.
  • Os índices das três parcelas são n,\,n-1,\,n-2 = 0,-1,-2. Somente x[0] é não-nulo.
y[0]=x[0]=(1/2)^{0}=1.

Passo 5

Agora n=1.
  • Índices: 1,0,-1. Contribuem x[1] e x[0].
y[1]=x[1]+x[0]=\left(\frac{1}{2}\right)^{1}+\left(\frac{1}{2}\right)^{0}=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}.

Passo 6

Agora n\ge2.
  • Para n\ge2 os três índices n,n-1,n-2 são todos \ge0, então todas as três parcelas existem:
y[n]=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}+\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}+\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}.
Fatorando \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} (ou observando que \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}=2\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n} e \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-2}=4\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}) obtemos:
y[n]=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\bigl(1+2+4\bigr)=7\left(\frac{1}{2}\right)^{n}.

Passo 7

Juntando todas as faixas, a solução em forma peça a peça fica:
  • y[n]=0 para n<0.
  • y[0]=1.
  • y[1]=\dfrac{3}{2}.
  • y[n]=7\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} para n\ge2.
Vou colocar a forma final de maneira clara e compacta na seção de resposta.

Resposta

y[n]=0 para n<0
y[0]=1
y[1]=\dfrac{3}{2}
y[n]=7\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} para n\ge2

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