Determine soma de convolução da função
com a função
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma de convolução (convolução discreta) entre as sequências
e
Dados importantes fornecidos:
-
é causal (multiplicada por ), ou seja, para e para . -
é também causal e tem suporte finito: para e para todo . - A tarefa é encontrar
, a sequência resultante da convolução discreta.
Passo 2
Escrevendo a definição da convolução discreta:
Vou usar a informação sobre o suporte de
para reduzir essa soma infinita a poucas parcelas. Como
somente para
, então
somente quando
, isto é, quando
. Portanto a soma tem no máximo três termos:
mas com a observação importante de que cada termo existe somente se o índice do
for
, já que
para
. Uma forma que deixa isso explícito é:
Passo 3
Análise por faixas de
. Primeiro a faixa
.
- Se
então todos os termos (pois para ), logo
Passo 4
Agora
.
- Os índices das três parcelas são
= . Somente é não-nulo.
Passo 5
Agora
.
- Índices:
. Contribuem e .
Passo 6
Agora
.
- Para
os três índices são todos , então todas as três parcelas existem:
Fatorando
(ou observando que
e
) obtemos:
Passo 7
Juntando todas as faixas, a solução em forma peça a peça fica:
-
para . -
. -
. -
para .
Vou colocar a forma final de maneira clara e compacta na seção de resposta.