Dado um material com \sigma=0,100 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, \epsilon_{r}=9,00, \mu_{r}=1,00 e uma onda com f=1,00 \mathrm{GHz}, queremos determinar \gamma, \alpha, \beta e \eta.

Passo 1

Dados fornecidos (copiados do enunciado):
  • Condutividade: \sigma=0,100\\ \mathrm{S/m}.
  • Constante dielétrica relativa: \epsilon_{r}=9,00.
  • Permeabilidade relativa: \mu_{r}=1,00.
  • Frequência da onda: f=1,00\\ \mathrm{GHz}.
O que é pedido:
  • Determinar o coeficiente de propagação complexo \gamma (e, portanto, seus componentes \alpha e \beta).
  • Determinar a impedância intrínseca complexa \eta.

Passo 2

Fórmulas e conceitos que vamos usar (explicando de forma direta):
  • Frequência angular: \omega=2\pi f. Aqui \omega tem unidade \mathrm{rad/s}.
  • Permissividade absoluta do meio: \epsilon=\epsilon_{r}\epsilon_{0}, onde \epsilon_{0}=8,854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • Permeabilidade absoluta do meio: \mu=\mu_{r}\mu_{0}, onde \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
  • O coeficiente de propagação complexo é
\gamma=\alpha + j\beta=\sqrt{j\omega\mu\left(\sigma + j\omega\epsilon\right)}.
  • Aqui \alpha (parte real de \gamma) é a atenuação em \mathrm{Np/m}.
  • \beta (parte imaginária de \gamma) é a constante de fase em \mathrm{rad/m}.
  • A impedância intrínseca é
\eta=\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma + j\omega\epsilon}}.
  • Para extrair a raiz quadrada de um número complexo Z=R+jX, é prático passar para forma polar: Z=|Z|e^{j\theta}, então \sqrt{Z}=\sqrt{|Z|}e^{j\theta/2}. Vamos usar esse procedimento quando necessário.

Passo 3

Calcular \omega, \epsilon e \mu numericamente:
\omega=2\pi f=2\pi\cdot(1,00\times10^{9})\approx 6,283185307\times10^{9}\\ \mathrm{rad/s}.
\epsilon=\epsilon_{r}\epsilon_{0}=9,00\cdot 8,854187817\times10^{-12}\approx 7,968769035\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.
\mu=\mu_{r}\mu_{0}=1,00\cdot 4\pi\times10^{-7}\approx 1,256637061\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}.

Passo 4

Calcular o termo \sigma + j\omega\epsilon (mostrando contas):
\omega\epsilon \approx (6,283185307\times10^{9})\cdot(7,968769035\times10^{-11}) \approx 0,50033\\ \mathrm{S/m}.
Portanto
\sigma + j\omega\epsilon = 0,100 + j\,0,50033\\ \mathrm{S/m}.

Passo 5

Calcular j\omega\mu:
j\omega\mu = j\cdot(6,283185307\times10^{9})\cdot(1,256637061\times10^{-6}) \approx j\,7\,895,6835\\ \mathrm{(ohm/m)}.
(é o numerador complexo que aparece nas fórmulas).

Passo 6

Calcular \gamma^{2}=j\omega\mu\,(\sigma + j\omega\epsilon) e escrever como número complexo:
Primeiro multiplicação direta:
j\omega\mu\cdot(\sigma + j\omega\epsilon) = j\,7\,895,6835\cdot(0,100 + j\,0,50033).
Fazendo o produto (usar j^2=-1):
j\,7\,895,6835\cdot0,100 = j\,789,56835,
j\,7\,895,6835\cdot j\,0,50033 = -\,7\,895,6835\cdot0,50033 \approx -\,3\,950,44833.
Logo
\gamma^{2} \approx -\,3\,950,44833 + j\,789,56835.

Passo 7

Extrair \gamma=\sqrt{\gamma^{2}} usando forma polar:
  • Módulo de \gamma^{2}:
\left|\gamma^{2}\right|=\sqrt{(-3\,950,44833)^{2} + (789,56835)^{2}} \approx 4\,028,582\times10^{0}.
  • Argumento de \gamma^{2}:
\theta=\operatorname{atan2}\big(789,56835,\,-3\,950,44833\big)\approx 2,94420\\ \mathrm{rad}.
  • Então
\gamma=\sqrt{\left|\gamma^{2}\right|}\;e^{j\theta/2}.
Calculando:
\sqrt{\left|\gamma^{2}\right|}\approx 63,4711, \qquad \theta/2\approx 1,47210\\ \mathrm{rad}.
Finalmente, separando partes real e imaginária:
\alpha=\Re(\gamma)=63,4711\cos(1,47210)\approx 6,25\\ \mathrm{Np/m},
\beta=\Im(\gamma)=63,4711\sin(1,47210)\approx 63,17\\ \mathrm{rad/m}.
Portanto
\gamma\approx (6,25 + j\,63,17)\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 8

Calcular a impedância intrínseca \eta.
Primeiro formar o quociente
Z=\frac{j\omega\mu}{\sigma + j\omega\epsilon}.
Usamos multiplicação pelo conjugado do denominador para obter partes reais e imaginárias:
  • Denominador ao quadrado (módulo ao quadrado):
|\sigma + j\omega\epsilon|^{2}=0,100^{2}+0,50033^{2}\approx 0,2603301.
  • Numerador vezes conjugado do denominador:
j\omega\mu\cdot(0,100 - j\,0,50033) = 3\,950,44833 + j\,789,56835.
  • Dividindo pelo módulo ao quadrado:
Z \approx \frac{3\,950,44833 + j\,789,56835}{0,2603301} \approx 15\,172 + j\,3\,033,2\\ \Omega.
Agora \eta=\sqrt{Z}. Usando forma polar:
  • Módulo de Z:
|Z|\approx \sqrt{15\,172^{2} + 3\,033,2^{2}}\approx 15\,472\\ (\text{valor intermediário}).á
  • Raiz do módulo:
\sqrt{|Z|}\approx 124,39.
  • Argumento de Z:
\varphi=\operatorname{atan2}(3\,033,2,\,15\,172)\approx 0,1974\\ \mathrm{rad},
então metade do ângulo é \varphi/2\approx 0,0987\\ \mathrm{rad}.
  • Portanto
\eta=\sqrt{|Z|}\,e^{j\varphi/2}\approx 124,39\left(\cos 0,0987 + j\sin 0,0987\right).
Separando:
\Re(\eta)\approx 123,8\\ \Omega,\qquad \Im(\eta)\approx 12,25\\ \Omega.
Logo
\eta\approx (123,8 + j\,12,25)\\ \Omega.

Resposta

\gamma \approx (6,25 + j\,63,17)\\ \mathrm{m^{-1}}
\alpha \approx 6,25\\ \mathrm{Np/m}
\beta \approx 63,17\\ \mathrm{rad/m}
\eta \approx (123,8 + j\,12,25)\\ \Omega

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