Determine se converge ou diverge cada uma das séries abaixo:
;
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se a série
converge ou diverge. (Usei
como início porque
e termos iniciais não afetam a convergência; qualquer início fixo funciona.)
Informações importantes fornecidas:
- O termo geral é
. - Todos os termos para
são positivos. - Não há indicação explícita da base do
; adotarei a convenção padrão em análise: é o logaritmo natural (base ).
Passo 2
Transformação algébrica do termo geral para ficar mais fácil de comparar. Vou usar a identidade geral
, válida quando
é o logaritmo natural. Aplicando-a a
temos:
Portanto o termo
pode ser reescrito como
Outra forma útil é escrever em potência de
. Como
, temos
Resumindo,
Essa forma deixa claro que o expoente em
é
, que cresce (lentamente) para
quando
.
Passo 3
Lembrando um resultado padrão que usaremos para comparação (vou explicar por que serve): a p-série
converge se, e somente se,
. Isso é bem conhecido e pode ser visto pelo teste da integral ou por comparação com harmônica generalizada. Aqui queremos comparar
com uma p-série: se conseguirmos um
tal que
para todo
suficientemente grande, então a convergência da p-série implica a convergência da nossa série (teste da comparação direta para séries de termos positivos).
Passo 4
Como
quando
, existe um
tal que, para todo
,
(Escrever explicitamente:
equivale a
, isto é
; não importa o valor numérico grande de
, só precisamos que exista.) Para esses
vale
Portanto, a partir de algum índice
em diante, cada termo
é menor ou igual ao termo correspondente da p-série com
.
Passo 5
Como a p-série
converge (porque
), e temos
para todo
, o teste da comparação direta nos garante que
converge.
Passo 6
Interpretação intuitiva rápida (para fixar a ideia): embora
cresça lentamente, o expoente
faz com que
seja enorme — mais precisamente, no formato
o expoente
cresce sem limite, então os termos
decaem mais rápido do que qualquer potência fixa
. Assim a série tem uma queda muito forte dos termos e soma finita.
Resposta
Converge