Determine se converge ou diverge cada uma das séries abaixo:
\sum \operatorname{sen}^{2}(\pi(1+1 / n));

Passo 1

O enunciado pede para determinar se converge ou diverge a série
\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{sen}^{2}\bigl(\pi(1+1/n)\bigr).
Informações relevantes dadas:
\;a_n=\operatorname{sen}^{2}\bigl(\pi(1+1/n)\bigr) é o termo geral.
A soma é sobre n=1,2,3,\dots.
Queremos decidir convergência ou divergência da série de termos não negativos (a_n)_{n\ge1}.

Passo 2

Primeiro simplificamos o argumento do seno usando a identidade de soma de ângulos. Usando \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta com \alpha=\pi e \beta=\pi/n obtemos
\sin\bigl(\pi+\tfrac{\pi}{n}\bigr)=\sin\pi\cos\tfrac{\pi}{n}+\cos\pi\sin\tfrac{\pi}{n}=0\cdot\cos\tfrac{\pi}{n}+(-1)\cdot\sin\tfrac{\pi}{n}=-\sin\tfrac{\pi}{n}.
Logo, ao quadrado,
\operatorname{sen}^{2}\bigl(\pi(1+1/n)\bigr)=\sin^{2}\bigl(\pi+\tfrac{\pi}{n}\bigr)=\sin^{2}\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr).
Portanto a série é
\sum_{n=1}^{\infty}\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr).

Passo 3

Observação sobre sinais e positividade: para todo n temos \sin^{2}(\pi/n)\ge0. Assim podemos usar testes de comparação e o teste da comparação limite, que exigem termos não negativos.

Passo 4

Estudamos o comportamento de \sin^{2}(\pi/n) quando n\to\infty (ou seja, quando o argumento \pi/n\to0). Usamos o limite clássico
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.
Uma forma simples de justificar esse limite (sem Taylor) é a desigualdade para x\in(0,\tfrac{\pi}{2}):
\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1,
e como \lim_{x\to0}\cos x=1 obtemos \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 por confronto. Aplicando com x=\pi/n temos
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n}=1.
Elevando ao quadrado resulta
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin^{2}(\pi/n)}{(\pi/n)^{2}}=1.

Passo 5

Aplicamos o teste da comparação por limite (limit comparison test). Tome a série de referência \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\pi^{2}}{n^{2}}. Sabemos que \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} é convergente (série p com p=2>1), então \sum \frac{\pi^{2}}{n^{2}} também é convergente. Como
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin^{2}(\pi/n)}{\pi^{2}/n^{2}}=1\in(0,\infty),
pelas hipóteses do teste da comparação por limite concluímos que \sum_{n=1}^{\infty}\sin^{2}(\pi/n) converge.

Passo 6

(Método alternativo curto) Para x\ge0 vale \sin x\le x. Assim, para todo n\ge1,
\sin^{2}(\tfrac{\pi}{n}) \le \bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr)^{2}.
Como \sum_{n=1}^{\infty}(\pi/n)^{2}=\pi^{2}\sum_{n=1}^{\infty}1/n^{2} converge, a comparação direta mostra que \sum_{n=1}^{\infty}\sin^{2}(\pi/n) converge também. Esse caminho é mais direto e serve bem em prova.

Passo 7

Conclusão final: a série de termos dados converge. Empurrando um pouco o ânimo: você pode usar qualquer uma das duas ideias na prova — comparação direta usando \sin x\le x ou o teste da comparação por limite usando \lim_{x\to0}\sin x/x=1 — ambas dão uma resposta simples e robusta.

Resposta

Converge.

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