Determine se converge ou diverge cada uma das séries abaixo:
;
Passo 1
O enunciado pede para determinar se converge ou diverge a série
Informações relevantes dadas:
é o termo geral.
A soma é sobre .
Queremos decidir convergência ou divergência da série de termos não negativos .
A soma é sobre
Queremos decidir convergência ou divergência da série de termos não negativos
Passo 2
Primeiro simplificamos o argumento do seno usando a identidade de soma de ângulos. Usando
com
e
obtemos
Logo, ao quadrado,
Portanto a série é
Passo 3
Observação sobre sinais e positividade: para todo
temos
. Assim podemos usar testes de comparação e o teste da comparação limite, que exigem termos não negativos.
Passo 4
Estudamos o comportamento de
quando
(ou seja, quando o argumento
). Usamos o limite clássico
Uma forma simples de justificar esse limite (sem Taylor) é a desigualdade para
:
e como
obtemos
por confronto. Aplicando com
temos
Elevando ao quadrado resulta
Passo 5
Aplicamos o teste da comparação por limite (limit comparison test). Tome a série de referência
. Sabemos que
é convergente (série
com
), então
também é convergente. Como
pelas hipóteses do teste da comparação por limite concluímos que
converge.
Passo 6
(Método alternativo curto) Para
vale
. Assim, para todo
,
Como
converge, a comparação direta mostra que
converge também. Esse caminho é mais direto e serve bem em prova.
Passo 7
Conclusão final: a série de termos dados converge. Empurrando um pouco o ânimo: você pode usar qualquer uma das duas ideias na prova — comparação direta usando
ou o teste da comparação por limite usando
— ambas dão uma resposta simples e robusta.
Resposta
Converge.