Determine a convergência absoluta ou condicional das séries \sum a_{n} cujos termos genéricos a_{n} são dados por:
(-1)^{n} \frac{n}{n+1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série \sum a_{n} é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, onde o termo geral é
a_{n}=(-1)^{n}\frac{n}{n+1}.
Informações dadas:
  • O sinal alterna por causa do fator (-1)^{n}.
  • O valor absoluto do termo é |a_{n}|=\dfrac{n}{n+1}.
  • A pergunta é única: classificar a convergência (absoluta, condicional ou nenhuma).

Passo 2

Primeiro vamos estudar a convergência absoluta. Lembrando: a série \sum a_{n} é absolutamente convergente se a série dos módulos \sum |a_{n}| converge. Aqui:
|a_{n}|=\frac{n}{n+1}.
Uma observação útil e simples é reescrever \dfrac{n}{n+1} assim:
\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}.
Isso ajuda a ver o comportamento quando n\to\infty.

Passo 3

Calcule o limite dos termos absolutos:
\lim_{n\to\infty}|a_{n}|=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1.
Para que uma série \sum b_{n} possa convergir é necessário (condição necessária) que b_{n}\to0. Aqui os termos |a_{n}| tendem a 1, não a 0. Logo a série dos módulos \sum |a_{n}| diverge (pelo teste da divergência: termos não tendem a zero ⇒ série diverge). Conclusão parcial: não há convergência absoluta.

Passo 4

Agora verificamos se pode haver convergência condicional (ou seja, a série \sum a_{n} converge, mas \sum |a_{n}| diverge). Um teste básico e obrigatório antes de qualquer outro: se \sum a_{n} converge então necessariamente a_{n}\to0. Vamos ver o limite de a_{n}:
avaliando as subsequências par e ímpar:
a_{2k}=(-1)^{2k}\frac{2k}{2k+1}=+\frac{2k}{2k+1}\xrightarrow[k\to\infty]{}1,
a_{2k+1}=(-1)^{2k+1}\frac{2k+1}{2k+2}=-\frac{2k+1}{2k+2}\xrightarrow[k\to\infty]{}-1.
Portanto a sequência (a_{n}) não tende a 0; ela oscila aproximando-se de 1 e de -1. Como a condição necessária para a convergência da série não é satisfeita, a série \sum a_{n} diverge.

Passo 5

Comentário didático rápido (para você lembrar na prova): o teste de Leibniz (série alternada convergente) exige que os termos em módulo sejam monotonicamente decrescentes e tendam a zero. Aqui os termos em módulo nem sequer tendem a zero, então o teste de Leibniz não se aplica — e mesmo sem ele, já usamos a condição necessária a_{n}\to0 para concluir divergência. Exemplo contraste: \sum (-1)^{n+1}\dfrac{1}{n} tem \dfrac{1}{n}\to0 e é convergente condicionalmente (Leibniz).

Passo 6

Conclusão final: a série não é absolutamente convergente (a série dos módulos diverge) e também não é condicionalmente convergente (a própria série diverge porque a_{n}\not\to0). Em linguagem curta: diverge.

Resposta

A série diverge; não converge nem absolutamente nem condicionalmente.

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