Determine a convergência absoluta ou condicional das séries
cujos termos genéricos
são dados por:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente absolutamente ou condicionalmente, onde o termo geral é
Informações dadas e observações imediatas:
- A série considerada é
. - Para todo
vale , ou seja . - O denominador
é positivo e decrescente para .
Passo 2
Definição e estratégia: uma série
converge absolutamente se a série de termos positivos
converge. Se
converge, então
converge (dizemos que convergência absoluta implica convergência). Assim, para decidir se a dada série converge absolutamente, devo analisar a série
Passo 3
Lema útil (série p): a série
converge se, e somente se,
. Aqui
, que é maior que
. Portanto a série
converge. (Uma justificativa rápida: pelo teste da integral,
, logo a série p com
converge.)
Passo 4
Aplicação do teste da comparação: como para todo
temos
, então
As duas séries envolvidas têm termos não-negativos; sabendo que
converge (Passo 3), pelo teste da comparação direta segue que
também converge.
Passo 5
Conclusão final lógica: como
converge, a série original
converge absolutamente. Lembrando a implicação geral: convergência absoluta implica convergência (portanto a série converge, e a convergência não é apenas condicional, é absoluta).
Resposta
Converge absolutamente.