Determine a convergência absoluta ou condicional das séries \sum a_{n} cujos termos genéricos a_{n} são dados por:
\frac{\cos \left(e^{n}\right)}{n^{\frac{3}{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série \sum a_{n} é convergente absolutamente ou condicionalmente, onde o termo geral é
a_{n}=\frac{\cos\!\big(e^{n}\big)}{n^{\frac{3}{2}}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A série considerada é \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos\!\big(e^{n}\big)}{n^{\frac{3}{2}}}.
  • Para todo n\in\mathbb{N} vale \cos\!\big(e^{n}\big)\in[-1,1], ou seja |\cos\!(e^{n})|\le 1.
  • O denominador n^{\frac{3}{2}} é positivo e decrescente para n\ge 1.

Passo 2

Definição e estratégia: uma série \sum a_{n} converge absolutamente se a série de termos positivos \sum |a_{n}| converge. Se \sum |a_{n}| converge, então \sum a_{n} converge (dizemos que convergência absoluta implica convergência). Assim, para decidir se a dada série converge absolutamente, devo analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty} |a_{n}| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\cos\!(e^{n})|}{n^{\frac{3}{2}}}.

Passo 3

Lema útil (série p): a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1. Aqui p=\tfrac{3}{2}, que é maior que 1. Portanto a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}
converge. (Uma justificativa rápida: pelo teste da integral, \displaystyle\int_{1}^{\infty} x^{-3/2}\,dx = \big[-2x^{-1/2}\big]_{1}^{\infty}=2<\infty, logo a série p com p=\tfrac{3}{2} converge.)

Passo 4

Aplicação do teste da comparação: como para todo n temos |\cos\!(e^{n})|\le 1, então
|a_{n}|=\frac{|\cos\!(e^{n})|}{n^{\frac{3}{2}}}\le \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}.
As duas séries envolvidas têm termos não-negativos; sabendo que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{\frac{3}{2}}} converge (Passo 3), pelo teste da comparação direta segue que
\sum_{n=1}^{\infty} |a_{n}| = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{|\cos\!(e^{n})|}{n^{\frac{3}{2}}}
também converge.

Passo 5

Conclusão final lógica: como \sum |a_{n}| converge, a série original \sum a_{n} converge absolutamente. Lembrando a implicação geral: convergência absoluta implica convergência (portanto a série converge, e a convergência não é apenas condicional, é absoluta).

Resposta

Converge absolutamente.

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