Determine a convergência ou divergência das seguintes séries: sumn=1^infty 12^n

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa determinar se a série infinita sumn=1^infty 12^n converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar o conceito de série geométrica, que é um tipo específico de série matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a série é realmente uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral sumn=0^infty ar^n, onde:
  • a é o primeiro termo da série.
  • r é a razão, ou seja, o fator pelo qual multiplicamos para passar de um termo para o próximo.
No caso da nossa série, sumn=1^infty 12^n, podemos reescrever assim:
sumn=1^infty (12)^n
Aqui, fica claro que a = 12 e r = 12.

Passo 3

Agora que identificamos a e r, vamos lembrar qual é a condição para uma série geométrica convergir. A regra é a seguinte:
  • Se o valor absoluto da razão |r| < 1, então a série converge.
  • Se |r| >= 1, então a série diverge.

Passo 4

Aplicando essa regra à nossa série, temos:
|r| = |12| = 12
Como 12 < 1, a condição para convergência está satisfeita.

Passo 5

Portanto, com base na regra das séries geométricas, concluímos que a série sumn=1^infty 12^n converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 12^n converge.

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