Determine a convergência ou divergência das séries a seguir. Se for convergente, calcule a sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \log \left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar convergência ou divergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \log\!\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right).
Informações dadas e o que é pedido:
  • A sequência geral dos termos da série é \displaystyle a_n=\log\!\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right).
  • Pede-se: (i) saber se a série converge ou diverge; (ii) se convergir, calcular a soma.

Passo 2

Vamos estudar o comportamento do termo geral \displaystyle a_n=\log\!\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right) quando n\to\infty.
Calcule a razão dentro do logaritmo:
\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}=\frac{1+\dfrac{1}{n^{2}}}{2+\dfrac{1}{n^{2}}}.
Ao tomar n\to\infty temos \dfrac{1}{n^{2}}\to0, logo
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}=\frac{1+0}{2+0}=\frac{1}{2}.

Passo 3

Usamos que a função \log é contínua em (0,\infty). Assim o limite do logaritmo é o logaritmo do limite da razão:
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\log\!\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)=\log\!\left(\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)=\log\!\left(\tfrac{1}{2}\right).
Note que \log\!\left(\tfrac{1}{2}\right) é um número negativo e, em particular, diferente de zero.

Passo 4

Lembrete teórico importante (teste necessário de convergência): se a série \sum a_n converge então necessariamente \lim_{n\to\infty} a_n = 0. Pelo contraposso, se \lim_{n\to\infty} a_n\neq 0 então a série diverge.
Aqui encontramos \lim_{n\to\infty} a_n=\log\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\neq 0. Portanto, pela condição necessária, a série não pode convergir: ela diverge.

Passo 5

Podemos ainda descrever a natureza da divergência (mais informativo e útil para a prova). Como para todo n\ge1 tem-se
\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}<1,
segue que a_n=\log\!\left(\dfrac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)<0 para todo n. Além disso, como a_n\to\log\!\left(\tfrac{1}{2}\right)<0, existe N tal que para todo n\ge N vale a_n\le \tfrac{1}{2}\log\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=:\,c<0. Então, para m>n\ge N,
\sum_{k=n}^{m} a_k \le (m-n+1)\,c \to -\infty \quad\text{quando } m\to\infty.
Isso mostra que as somas parciais são não crescentes (já que os termos são negativos) e, a partir de certo índice, decrescem sem limite inferior, o que implica que a série diverge para -\infty.

Resposta

A série diverge (mais precisamente, diverge para -\infty).

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