Determine a convergência ou divergência das séries a seguir. Se for convergente, calcule a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para determinar convergência ou divergência da série
Informações dadas e o que é pedido:
- A sequência geral dos termos da série é
. - Pede-se: (i) saber se a série converge ou diverge; (ii) se convergir, calcular a soma.
Passo 2
Vamos estudar o comportamento do termo geral
quando
.
Calcule a razão dentro do logaritmo:
Ao tomar
temos
, logo
Passo 3
Usamos que a função
é contínua em
. Assim o limite do logaritmo é o logaritmo do limite da razão:
Note que
é um número negativo e, em particular, diferente de zero.
Passo 4
Lembrete teórico importante (teste necessário de convergência): se a série
converge então necessariamente
. Pelo contraposso, se
então a série diverge.
Aqui encontramos
. Portanto, pela condição necessária, a série não pode convergir: ela diverge.
Passo 5
Podemos ainda descrever a natureza da divergência (mais informativo e útil para a prova). Como para todo
tem-se
segue que
para todo
. Além disso, como
, existe
tal que para todo
vale
. Então, para
,
Isso mostra que as somas parciais são não crescentes (já que os termos são negativos) e, a partir de certo índice, decrescem sem limite inferior, o que implica que a série diverge para
.
Resposta
A série diverge (mais precisamente, diverge para
).