Questão 2. Determine a convergência ou divergência das séries a seguir. Se for convergente, calcule a sua soma.
g) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n^{2}-1}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n^{2}-1}.
O que se pede: determinar se a série converge ou diverge; se convergente, calcular a soma.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral é \displaystyle a_n=\frac{n^{2}}{n^{2}-1}.
  • Observação imediata: para n=1 o denominador n^{2}-1 é zero, portanto a_1 não está definido. Por isso, tal como escrito a série tem um termo indefinido.
    Vou considerar duas coisas (sem pedir nada a você): (i) apontar a inconsistência do termo n=1 e (ii) analisar o comportamento para n grande (interpretação usual: considerar a partir de n=2). Em qualquer interpretação útil a seguir veremos se a série converge ou diverge.

Passo 2

Regra fundamental (teste necessário para convergência): se a série \sum a_n converge, então o termo geral a_n necessariamente tende a zero quando n\to\infty. Esse é o chamado teste do termo geral (ou teste da condição necessária). Em palavras: uma série só pode convergir se seus termos forem cada vez menores e tenderem a zero; se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0, a série diverge imediatamente.
Breve explicação por que isso é verdade: se S_N=\sum_{n=1}^N a_n converge para um limite finito S, então a_n=S_n-S_{n-1} e ambos S_n e S_{n-1} tendem a S, logo a diferença tende a zero.

Passo 3

Calcular o limite do termo geral. Para \displaystyle a_n=\frac{n^{2}}{n^{2}-1} fazemos uma manipulação simples: dividir numerador e denominador por n^{2}:
a_n=\frac{n^{2}}{n^{2}-1}=\frac{1}{1-\dfrac{1}{n^{2}}}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1-\dfrac{1}{n^{2}}}=\frac{1}{1-0}=1.
Portanto \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 1.

Passo 4

Aplicando o teste do termo geral: como \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 1 \neq 0, a série não pode convergir. Conclusão: a série diverge (os somatórios parciais tendem a +\infty).
Além disso, lembrando a observação do Passo 1: o termo n=1 é indefinido — então, literalmente, a série escrita a partir de n=1 não é bem definida; mesmo interpretando a série a partir de n=2 (caso mais razoável), o resultado acima vale: a série \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}-1} também diverge, porque a_n\to1.

Passo 5

(Comentário didático adicional — outra maneira de ver a divergência.) Podemos escrever
\frac{n^{2}}{n^{2}-1}=1+\frac{1}{n^{2}-1}.
Logo, para n\ge2,
\sum_{n=2}^{N}\frac{n^{2}}{n^{2}-1}=\sum_{n=2}^{N}1+\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{n^{2}-1}= (N-1)+\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{n^{2}-1}.
O termo (N-1) tende a +\infty quando N\to\infty, então a soma diverge. Isso confirma de forma simples que a série diverge: há um bloco constante 1 somado infinitas vezes.

Passo 6

(Se interessar: soma da parte convergente.) A parte \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-1} é convergente e pode ser somada por frações parciais. Usa-se
\frac{1}{n^{2}-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right),
que produz uma soma telescópica cujo limite é \tfrac{3}{4}. Mas isso não salva a série original, porque o termo 1 somado infinitas vezes faz a soma total divergir.

Resposta

A série diverge.

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