Questão 2. Determine a convergência ou divergência das séries a seguir. Se for convergente, calcule a sua soma.
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Passo 1
O enunciado nos dá a série
O que se pede: determinar se a série converge ou diverge; se convergente, calcular a soma.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O termo geral é
. - Observação imediata: para
o denominador é zero, portanto não está definido. Por isso, tal como escrito a série tem um termo indefinido.
Vou considerar duas coisas (sem pedir nada a você): (i) apontar a inconsistência do termoe (ii) analisar o comportamento para grande (interpretação usual: considerar a partir de ). Em qualquer interpretação útil a seguir veremos se a série converge ou diverge.
Passo 2
Regra fundamental (teste necessário para convergência): se a série
converge, então o termo geral
necessariamente tende a zero quando
. Esse é o chamado teste do termo geral (ou teste da condição necessária). Em palavras: uma série só pode convergir se seus termos forem cada vez menores e tenderem a zero; se
, a série diverge imediatamente.
Breve explicação por que isso é verdade: se
converge para um limite finito
, então
e ambos
e
tendem a
, logo a diferença tende a zero.
Passo 3
Calcular o limite do termo geral. Para
fazemos uma manipulação simples: dividir numerador e denominador por
:
Agora tomamos o limite quando
:
Portanto
.
Passo 4
Aplicando o teste do termo geral: como
, a série não pode convergir. Conclusão: a série diverge (os somatórios parciais tendem a
).
Além disso, lembrando a observação do Passo 1: o termo
é indefinido — então, literalmente, a série escrita a partir de
não é bem definida; mesmo interpretando a série a partir de
(caso mais razoável), o resultado acima vale: a série
também diverge, porque
.
Passo 5
(Comentário didático adicional — outra maneira de ver a divergência.) Podemos escrever
Logo, para
,
O termo
tende a
quando
, então a soma diverge. Isso confirma de forma simples que a série diverge: há um bloco constante
somado infinitas vezes.
Passo 6
(Se interessar: soma da parte convergente.) A parte
é convergente e pode ser somada por frações parciais. Usa-se
que produz uma soma telescópica cujo limite é
. Mas isso não salva a série original, porque o termo
somado infinitas vezes faz a soma total divergir.
Resposta
A série diverge.