Determine a convergência ou não da série \sum a_{n} onde o termo geral a_{n} é dado por:
\frac{1}{n!}

Passo 1

O enunciado nos dá a série cujos termos gerais são
\displaystyle a_n=\frac{1}{n!}.
Vou assumir a forma usual da questão: a série é
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}.
A pergunta é: a série converge ou diverge? (Se converge, é interessante saber se converge absolutamente e, se possível, qual é sua soma.)

Passo 2

Primeiro, entender o que é o fatorial. Para um inteiro n\ge1,
n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots n.
Exemplos: 1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120. O fatorial cresce muito rápido quando n aumenta, muito mais rápido que potências exponenciais como 2^n ou polinômios. Essa rápida decaída de 1/n! sugere que os termos vão a zero muito rapidamente — uma boa pista de que a série pode convergir.

Passo 3

Apresentando um teste prático e rápido: o Teste da Razão (ou de d’Alembert). Ele diz o seguinte (forma prática):
seja uma série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n com termos positivos. Defina
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}.
  • Se L<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Esse teste é útil quando aparecem fatoriais, potências, exponenciais, pois a razão costuma simplificar.

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão aos nossos termos a_n=\dfrac{1}{n!}. Calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\dfrac{1}{(n+1)!}}{\dfrac{1}{n!}}=\frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1}.
Agora fazemos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0.
Como esse limite L=0 satisfaz L<1, pelo Teste da Razão a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!} converge absolutamente.

Passo 5

Explicando “convergência absoluta” de forma simples: a série \sum a_n converge absolutamente se a série \sum |a_n| converge. No nosso caso a_n>0 já, então convergência absoluta equivale à convergência usual. Convergência absoluta é uma propriedade forte e desejável — por exemplo, garante que reagrupamentos dos termos não alteram a soma.

Passo 6

Uma alternativa (útil em prova quando não lembrar do teste da razão) é comparar com uma série geométrica. Note que para n\ge2 temos cada um dos fatores 2,3,\dots,n no produto de n! maior ou igual a 2, logo
n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots n \ge 1\cdot 2\cdot 2\cdot\cdots\cdot 2 = 2^{\,n-1}.
Assim, para n\ge1,
\frac{1}{n!}\le \frac{1}{2^{\,n-1}}.
Como a série geométrica \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{\,n-1}} converge (é geométrica com razão \tfrac{1}{2}<1), pelo Teste de Comparação a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!} também converge. Essa comparação dá também uma ideia do quão rápido os termos decaem.

Passo 7

Sobre a soma: é uma série famosa. Se estendermos o índice para começar em n=0, temos a série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots=\mathrm{e},
onde \mathrm{e} é o número de Euler (definido por essa série ou por outras definições equivalentes). Portanto, como estamos somando a partir de n=1,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}=\mathrm{e}-1.
Se a sua série original começava em n=0, a soma é \mathrm{e}; se começava em n=1, a soma é \mathrm{e}-1. De qualquer forma, a série converge (e converge absolutamente).

Passo 8

Dica rápida para prova: ao ver n! no denominador, pense imediatamente no Teste da Razão — geralmente a razão simplifica para algo com 1/(n+1) e dá limite zero, encerrando a questão em 1 ou 2 linhas. Se preferir, use comparação com uma geométrica como abordagem alternativa.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!} converge absolutamente; sua soma é \mathrm{e}-1.

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