Determine a convergência ou não da série
onde o termo geral
é dado por:
Passo 1
O enunciado nos dá a série cujos termos gerais são
.
Vou assumir a forma usual da questão: a série é
.
A pergunta é: a série converge ou diverge? (Se converge, é interessante saber se converge absolutamente e, se possível, qual é sua soma.)
Vou assumir a forma usual da questão: a série é
A pergunta é: a série converge ou diverge? (Se converge, é interessante saber se converge absolutamente e, se possível, qual é sua soma.)
Passo 2
Primeiro, entender o que é o fatorial. Para um inteiro
,
Exemplos:
,
,
,
,
. O fatorial cresce muito rápido quando
aumenta, muito mais rápido que potências exponenciais como
ou polinômios. Essa rápida decaída de
sugere que os termos vão a zero muito rapidamente — uma boa pista de que a série pode convergir.
Passo 3
Apresentando um teste prático e rápido: o Teste da Razão (ou de d’Alembert). Ele diz o seguinte (forma prática):
seja uma série com termos positivos. Defina
seja uma série
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Esse teste é útil quando aparecem fatoriais, potências, exponenciais, pois a razão costuma simplificar.
Passo 4
Aplicando o Teste da Razão aos nossos termos
. Calculamos
Agora fazemos o limite quando
:
Como esse limite
satisfaz
, pelo Teste da Razão a série
converge absolutamente.
Passo 5
Explicando “convergência absoluta” de forma simples: a série
converge absolutamente se a série
converge. No nosso caso
já, então convergência absoluta equivale à convergência usual. Convergência absoluta é uma propriedade forte e desejável — por exemplo, garante que reagrupamentos dos termos não alteram a soma.
Passo 6
Uma alternativa (útil em prova quando não lembrar do teste da razão) é comparar com uma série geométrica. Note que para
temos cada um dos fatores
no produto de
maior ou igual a
, logo
Assim, para
,
Como a série geométrica
converge (é geométrica com razão
), pelo Teste de Comparação a série
também converge. Essa comparação dá também uma ideia do quão rápido os termos decaem.
Passo 7
Sobre a soma: é uma série famosa. Se estendermos o índice para começar em
, temos a série
onde
é o número de Euler (definido por essa série ou por outras definições equivalentes). Portanto, como estamos somando a partir de
,
Se a sua série original começava em
, a soma é
; se começava em
, a soma é
. De qualquer forma, a série converge (e converge absolutamente).
Passo 8
Dica rápida para prova: ao ver
no denominador, pense imediatamente no Teste da Razão — geralmente a razão simplifica para algo com
e dá limite zero, encerrando a questão em 1 ou 2 linhas. Se preferir, use comparação com uma geométrica como abordagem alternativa.
Resposta
A série
converge absolutamente; sua soma é
.