Determine a convergência ou não da série
onde o termo geral
é dado por:
Passo 1
O enunciado dá a série com termo geral
igual a
e pede para determinar se a série
converge ou diverge.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O termo geral é positivo para todo
: . - Quer-se saber convergência (ou divergência) da série de termos positivos
.
Passo 2
Escolha do método e por quê: vou usar o teste de comparação simples com uma série geométrica convergente. Motivo: a expressão
é claramente menor ou igual a
para
, e séries geométricas são um dos critérios mais elementares e rápidos para provar convergência. Esse método exige apenas a desigualdade direta e o conhecimento de quando uma série geométrica converge.
Passo 3
Lembrete sobre série geométrica: uma série geométrica
converge se, e somente se,
. Nesse caso o valor da soma é
mas aqui interessa só a condição de convergência
. Para
tem-se
, logo
é uma série convergente (geométrica).
Passo 4
Aplicação da desigualdade e do teste de comparação: para todo
vale
portanto
Como
é termo de uma série geométrica convergente e
para todo
, pelo teste de comparação (se
e
converge, então
também converge) concluímos que
converge.
Comentário adicional (checagem pelo teste da razão): por verificação alternativa, calcule-se
Tomando limite quando
,
o que pelo teste da razão também garante convergência absoluta da série. Essa verificação só confirma o resultado obtido pelo teste de comparação.
Passo 5
Conclusão final: a série converge. Como todos os termos são positivos (logo a soma dos valores absolutos é a própria soma), a convergência é absoluta.
Resposta
A série converge absolutamente.