Determine a convergência ou não da série \sum a_{n} onde o termo geral a_{n} é dado por:
\frac{1}{n 7^{n}}

Passo 1

O enunciado dá a série com termo geral a_{n} igual a
a_{n}=\frac{1}{n\,7^{n}},\quad n\ge 1,
e pede para determinar se a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge ou diverge.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral é positivo para todo n: a_{n}>0.
  • Quer-se saber convergência (ou divergência) da série de termos positivos \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n\,7^{n}}.

Passo 2

Escolha do método e por quê: vou usar o teste de comparação simples com uma série geométrica convergente. Motivo: a expressão 1/(n7^{n}) é claramente menor ou igual a 1/7^{n} para n\ge1, e séries geométricas são um dos critérios mais elementares e rápidos para provar convergência. Esse método exige apenas a desigualdade direta e o conhecimento de quando uma série geométrica converge.

Passo 3

Lembrete sobre série geométrica: uma série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso o valor da soma é
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r},
mas aqui interessa só a condição de convergência |r|<1. Para r=\dfrac{1}{7} tem-se |r|=\dfrac{1}{7}<1, logo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{7^{n}}
é uma série convergente (geométrica).

Passo 4

Aplicação da desigualdade e do teste de comparação: para todo n\ge1 vale
\frac{1}{n}\le 1,
portanto
a_{n}=\frac{1}{n\,7^{n}}\le\frac{1}{7^{n}}.
Como \dfrac{1}{7^{n}} é termo de uma série geométrica convergente e 0\le a_{n}\le \dfrac{1}{7^{n}} para todo n, pelo teste de comparação (se 0\le a_{n}\le b_{n} e \sum b_{n} converge, então \sum a_{n} também converge) concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\,7^{n}}
converge.
Comentário adicional (checagem pelo teste da razão): por verificação alternativa, calcule-se
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{1/((n+1)7^{n+1})}{1/(n7^{n})} =\frac{n}{n+1}\cdot\frac{1}{7}.
Tomando limite quando n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{7}<1,
o que pelo teste da razão também garante convergência absoluta da série. Essa verificação só confirma o resultado obtido pelo teste de comparação.

Passo 5

Conclusão final: a série converge. Como todos os termos são positivos (logo a soma dos valores absolutos é a própria soma), a convergência é absoluta.

Resposta

A série converge absolutamente.

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