Determine as coordenadas do ponto de intersecção entre a reta r : x+y-3=0 e a reta que passa pelos pontos A(2,3) e B(1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas onde a reta r: x + y - 3 = 0 intercepta a reta que passa pelos pontos A(2,3) e B(1,2). Aqui, estamos trabalhando com Geometria Analítica, e para isso, vamos precisar encontrar a equação da reta que passa pelos pontos A e B e depois resolver o sistema com a reta r para achar o ponto de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos A(2,3) e B(1,2). Para isso, precisamos calcular o coeficiente angular (ou inclinação) dessa reta, que indica o quanto a reta sobe ou desce.
A fórmula para o coeficiente angular m entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
m = y2 - y1x2 - x1
Vamos aplicar isso aos nossos pontos A(2,3) e B(1,2):
m = 2 - 31 - 2 = -1-1 = 1
Então, o coeficiente angular m é 1.

Passo 3

Agora que temos o coeficiente angular, vamos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta, que é:
y - y1 = m(x - x1)
Podemos usar qualquer um dos pontos, vamos usar o ponto A(2,3):
y - 3 = 1(x - 2)
Simplificando:
y - 3 = x - 2
y = x - 2 + 3
y = x + 1
Então, a equação da reta que passa por A e B é y = x + 1.

Passo 4

Agora temos as duas equações das retas:
  1. Reta r: x + y - 3 = 0
  2. Reta que passa por A e B: y = x + 1
Para encontrar o ponto de interseção, precisamos resolver esse sistema de equações, ou seja, encontrar os valores de x e y que satisfazem ambas as equações simultaneamente.

Passo 5

Vamos substituir a expressão de y da segunda equação na primeira:
x + (x + 1) - 3 = 0
Simplificando:
2x + 1 - 3 = 0
2x - 2 = 0
2x = 2
x = 1
Então, encontramos que x = 1.

Passo 6

Agora que temos x = 1, vamos substituir esse valor na equação da reta y = x + 1 para encontrar y:
y = 1 + 1 = 2
Então, y = 2.

Resposta

O ponto de interseção entre as retas é (1, 2).

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