Determine:
\cos ^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor principal de \cos^{-1}\!\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr). O conteúdo é função inversa do cosseno, e vamos usar o intervalo principal de saída de \operatorname{arccos}.

Passo 2

Lembrando que
\operatorname{arccos}\colon[-1,1]\to[0,\pi]
é definida por \operatorname{arccos}(y)=\theta tal que \theta\in[0,\pi] e \cos\theta=y.

Passo 3

Procuramos \theta\in[0,\pi] satisfazendo
\cos\theta=-\tfrac{1}{2}.
No círculo trigonométrico, o ângulo de referência com \cos=\tfrac{1}{2} é \pi/3. Como queremos o cosseno negativo em [0,\pi], estamos no segundo quadrante, e
\theta=\pi-\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{2\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2\pi}{3}

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