Determine os cossenos diretores de
e confirme que eles satisfazem a Equação (5). Então, use os cossenos diretores para aproximar os ângulos diretores até o grau mais próximo.
Passo 1
O enunciado nos dá o vetor
. As perguntas são:
- Determinar os cossenos diretores de
. - Confirmar que esses cossenos satisfazem a Equação (5).
- Usar os cossenos para aproximar os ângulos diretores até o grau mais próximo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As componentes de
são , e . - É preciso calcular o módulo de
e usar a definição de cossenos diretores.
Passo 2
Definição e fórmula útil (explicação didática):
- Os cossenos diretores são os cossenos dos ângulos que o vetor faz com os eixos coordenados. Denotando esses ângulos por
(ângulos com os eixos respectivamente), os cossenos diretores são
- Para um vetor
, a relação com os cossenos diretores é
onde
é o módulo (norma) do vetor e indica o comprimento do vetor. Essa fórmula vem do fato de que a componente
é igual a
, e analogamente para as outras componentes.
Passo 3
Calcular o módulo de
passo a passo:
- Primeiro somam-se os quadrados das componentes:
- O módulo é a raiz quadrada dessa soma:
Passo 4
Calcular os cossenos diretores usando a fórmula do Passo 2:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Dar também as aproximações decimais úteis:
Passo 5
Confirmar a Equação (5). A Equação (5) é a identidade que relaciona os cossenos diretores:
Substituindo nossos valores:
Portanto, os cossenos diretores satisfazem a Equação (5).
Passo 6
Calcular os ângulos diretores
a partir dos cossenos:
- Definição:
, , . - Como
, temos
Uma aproximação numérica é
Arredondando ao grau mais próximo:
- Para
, como , temos
e arredondando ao grau mais próximo:
Passo 7
Resumo final rápido (sem repetir os valores na seção de resposta): calculamos os cossenos diretores a partir das componentes divididas pelo módulo, verificamos que a soma dos quadrados é
(Equação (5)) e obtivemos as aproximações angulares arredondadas ao grau solicitado. Força aí — você já domina essa técnica: componente dividido pelo módulo, depois arccos para o ângulo!