Determine os cossenos diretores de \mathbf{v} e confirme que eles satisfazem a Equação (5). Então, use os cossenos diretores para aproximar os ângulos diretores até o grau mais próximo.
\mathbf{v}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-\mathbf{k}

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor \mathbf{v}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-\mathbf{k}. As perguntas são:
  • Determinar os cossenos diretores de \mathbf{v}.
  • Confirmar que esses cossenos satisfazem a Equação (5).
  • Usar os cossenos para aproximar os ângulos diretores até o grau mais próximo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As componentes de \mathbf{v} são v_x=1, v_y=1 e v_z=-1.
  • É preciso calcular o módulo de \mathbf{v} e usar a definição de cossenos diretores.

Passo 2

Definição e fórmula útil (explicação didática):
  • Os cossenos diretores são os cossenos dos ângulos que o vetor faz com os eixos coordenados. Denotando esses ângulos por \alpha,\beta,\gamma (ângulos com os eixos x,y,z respectivamente), os cossenos diretores são
l=\cos\alpha,\qquad m=\cos\beta,\qquad n=\cos\gamma.
  • Para um vetor \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z), a relação com os cossenos diretores é
l=\frac{v_x}{\|\mathbf{v}\|},\qquad m=\frac{v_y}{\|\mathbf{v}\|},\qquad n=\frac{v_z}{\|\mathbf{v}\|},
onde \|\mathbf{v}\| é o módulo (norma) do vetor e indica o comprimento do vetor. Essa fórmula vem do fato de que a componente v_x é igual a \|\mathbf{v}\|\cos\alpha, e analogamente para as outras componentes.

Passo 3

Calcular o módulo de \mathbf{v} passo a passo:
  • Primeiro somam-se os quadrados das componentes:
v_x^2+v_y^2+v_z^2 = 1^2+1^2+(-1)^2 = 1+1+1 = 3.
  • O módulo é a raiz quadrada dessa soma:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{3}.

Passo 4

Calcular os cossenos diretores usando a fórmula do Passo 2:
  • Para l:
l=\frac{v_x}{\|\mathbf{v}\|}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
  • Para m:
m=\frac{v_y}{\|\mathbf{v}\|}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
  • Para n:
n=\frac{v_z}{\|\mathbf{v}\|}=\frac{-1}{\sqrt{3}}.
Dar também as aproximações decimais úteis:
\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0{,}57735,\qquad \frac{-1}{\sqrt{3}}\approx -0{,}57735.

Passo 5

Confirmar a Equação (5). A Equação (5) é a identidade que relaciona os cossenos diretores:
l^2+m^2+n^2=1.
Substituindo nossos valores:
l^2+m^2+n^2=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)^2 =\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1.
Portanto, os cossenos diretores satisfazem a Equação (5).

Passo 6

Calcular os ângulos diretores \alpha,\beta,\gamma a partir dos cossenos:
  • Definição: \alpha=\operatorname{arccos}(l), \beta=\operatorname{arccos}(m), \gamma=\operatorname{arccos}(n).
  • Como l=m=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, temos
\alpha=\beta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right).
Uma aproximação numérica é
\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\approx 54{,}7356^\circ.
Arredondando ao grau mais próximo:
\alpha\approx 55^\circ,\qquad \beta\approx 55^\circ.
  • Para \gamma, como n=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}=-l, temos
\gamma=\operatorname{arccos}\!\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=180^\circ-\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\approx 180^\circ-54{,}7356^\circ=125{,}2644^\circ,
e arredondando ao grau mais próximo:
\gamma\approx 125^\circ.

Passo 7

Resumo final rápido (sem repetir os valores na seção de resposta): calculamos os cossenos diretores a partir das componentes divididas pelo módulo, verificamos que a soma dos quadrados é 1 (Equação (5)) e obtivemos as aproximações angulares arredondadas ao grau solicitado. Força aí — você já domina essa técnica: componente dividido pelo módulo, depois arccos para o ângulo!

Resposta

l=\dfrac{1}{\sqrt{3}},\\ m=\dfrac{1}{\sqrt{3}},\\ n=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}
\alpha\approx 55^\circ,\\ \beta\approx 55^\circ,\\ \gamma\approx 125^\circ

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