Determine dois vetores unitários no espaço bidimensional que façam um angulo de 45^{\circ} com 4 \mathbf{i}+3 \mathbf{j}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar dois vetores unitários no plano que façam um ângulo de 45^\circ com o vetor 4\mathbf{i}+3\mathbf{j}.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • Vetor dado: \mathbf{v}=4\mathbf{i}+3\mathbf{j}.
  • Ângulo exigido entre o vetor incógnita e \mathbf{v}: \theta=45^\circ.
  • Procuramos dois vetores unitários \mathbf{u} (ou seja, com norma 1) tais que o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v} valha 45^\circ.

Passo 2

Vamos usar a relação que liga produto escalar e ângulo entre vetores. Para quaisquer vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} vale
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\cos\theta,
onde |\mathbf{u}| e |\mathbf{v}| são as normas (comprimentos) dos vetores e \theta é o ângulo entre eles.
Aqui queremos |\mathbf{u}|=1 e \theta=45^\circ, portanto a condição vira
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=|\mathbf{v}|\cos 45^\circ.
Lembrete: \cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 3

Calcular a norma de \mathbf{v}=4\mathbf{i}+3\mathbf{j}. Pela definição,
|\mathbf{v}|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.
Substituindo na expressão do passo anterior obtemos o valor numérico do produto escalar desejado:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=5\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Escrevemos o vetor unitário desconhecido como \mathbf{u}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}. As duas condições que \mathbf{u} deve satisfazer são:
  1. Ser unitário:
x^2+y^2=1.
  1. Ter produto escalar com \mathbf{v} igual a \dfrac{5\sqrt{2}}{2}:
4x+3y=\frac{5\sqrt{2}}{2}.
Temos, portanto, um sistema composto por uma circunferência e uma reta—isto normalmente dá até duas interseções (aqui esperamos exatamente duas soluções).

Passo 5

Isolamos y a partir da equação linear:
y=\frac{\dfrac{5\sqrt{2}}{2}-4x}{3}=\frac{5\sqrt{2}}{6}-\frac{4}{3}x.
Agora substituímos essa expressão em x^2+y^2=1. Para evitar muitos parênteses, vamos usar c=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}. Assim y=(c-4x)/3 e
x^2+\left(\frac{c-4x}{3}\right)^2=1.

Passo 6

Desenvolvendo a equação do passo anterior:
x^2+\frac{(c-4x)^2}{9}=1.
Multiplicando por 9 para eliminar o denominador:
9x^2+(c-4x)^2=9.
Expandindo (c-4x)^2:
9x^2+c^2-8cx+16x^2=9.
Juntando termos semelhantes:
25x^2-8c x+(c^2-9)=0.

Passo 7

Agora substituímos c=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}. Primeiro calcule c^2:
c^2=\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2=\frac{25\cdot 2}{4}=\frac{50}{4}=\frac{25}{2}.
Então c^2-9=\dfrac{25}{2}-9=\dfrac{25-18}{2}=\dfrac{7}{2}.
Também calcule 8c:
8c=8\cdot\frac{5\sqrt{2}}{2}=4\cdot5\sqrt{2}=20\sqrt{2}.
Substituindo em 25x^2-8c x+(c^2-9)=0 obtém-se:
25x^2-20\sqrt{2}\,x+\frac{7}{2}=0.
Multiplicando por 2 para eliminar frações:
50x^2-40\sqrt{2}\,x+7=0.

Passo 8

Resolvemos a quadrática pelo discriminante. Para ax^2+bx+c=0 vale x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. Aqui a=50, b=-40\sqrt{2}, c=7. O discriminante é
\Delta=b^2-4ac=(40\sqrt{2})^2-4\cdot 50\cdot 7.
Calculando:
(40\sqrt{2})^2=1600\cdot 2=3200,
4\cdot 50\cdot 7=1400,
logo
\Delta=3200-1400=1800.
Extraindo a raiz:
\sqrt{\Delta}=\sqrt{1800}=\sqrt{36\cdot 50}=6\sqrt{50}=6\cdot 5\sqrt{2}=30\sqrt{2}.
Agora as raízes são
x=\frac{40\sqrt{2}\pm 30\sqrt{2}}{100}=\frac{(40\pm 30)\sqrt{2}}{100}.
Assim:
x_1=\frac{70\sqrt{2}}{100}=\frac{7\sqrt{2}}{10},\qquad x_2=\frac{10\sqrt{2}}{100}=\frac{\sqrt{2}}{10}.

Passo 9

Para cada x encontramos y usando y=(c-4x)/3 com c=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}.
Para x_1=\dfrac{7\sqrt{2}}{10}:
4x_1=\frac{28\sqrt{2}}{10}=\frac{14\sqrt{2}}{5},
c-4x_1=\frac{5\sqrt{2}}{2}-\frac{14\sqrt{2}}{5}=\sqrt{2}\!\left(\frac{5}{2}-\frac{14}{5}\right)=\sqrt{2}\!\left(\frac{25-28}{10}\right)=-\frac{3\sqrt{2}}{10},
y_1=\frac{c-4x_1}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{10}.
Logo
\mathbf{u}_1=\frac{7\sqrt{2}}{10}\mathbf{i}-\frac{\sqrt{2}}{10}\mathbf{j}=\frac{\sqrt{2}}{10}\bigl(7\mathbf{i}-\mathbf{j}\bigr).
Para x_2=\dfrac{\sqrt{2}}{10}:
4x_2=\frac{4\sqrt{2}}{10}=\frac{2\sqrt{2}}{5},
c-4x_2=\frac{5\sqrt{2}}{2}-\frac{2\sqrt{2}}{5}=\sqrt{2}\!\left(\frac{5}{2}-\frac{2}{5}\right)=\sqrt{2}\!\left(\frac{25-4}{10}\right)=\frac{21\sqrt{2}}{10},
y_2=\frac{c-4x_2}{3}=\frac{7\sqrt{2}}{10}.
Logo
\mathbf{u}_2=\frac{\sqrt{2}}{10}\mathbf{i}+\frac{7\sqrt{2}}{10}\mathbf{j}=\frac{\sqrt{2}}{10}\bigl(\mathbf{i}+7\mathbf{j}\bigr).
Observação rápida (checagem): cada vetor obtido tem norma 1 (pode-se verificar x^2+y^2=1) e o produto escalar com 4\mathbf{i}+3\mathbf{j} \dfrac{5\sqrt{2}}{2}, conforme exigido (portanto o ângulo é 45^\circ). Bom trabalho — você agora tem o padrão: reduzir a condição angular a um produto escalar e resolver a interseção reta-circunferência.

Resposta

\displaystyle \mathbf{u}_1=\frac{\sqrt{2}}{10}\,(7\mathbf{i}-\mathbf{j})
\displaystyle \mathbf{u}_2=\frac{\sqrt{2}}{10}\,(\mathbf{i}+7\mathbf{j})

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