Determine dois vetores unitários no espaço bidimensional que façam um angulo de
com
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar dois vetores unitários no plano que façam um ângulo de
com o vetor
.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- Vetor dado:
. - Ângulo exigido entre o vetor incógnita e
: . - Procuramos dois vetores unitários
(ou seja, com norma ) tais que o ângulo entre e valha .
Passo 2
Vamos usar a relação que liga produto escalar e ângulo entre vetores. Para quaisquer vetores
e
vale
onde
e
são as normas (comprimentos) dos vetores e
é o ângulo entre eles.
Aqui queremos
e
, portanto a condição vira
Lembrete:
.
Passo 3
Calcular a norma de
. Pela definição,
Substituindo na expressão do passo anterior obtemos o valor numérico do produto escalar desejado:
Passo 4
Escrevemos o vetor unitário desconhecido como
. As duas condições que
deve satisfazer são:
- Ser unitário:
- Ter produto escalar com
igual a :
Temos, portanto, um sistema composto por uma circunferência e uma reta—isto normalmente dá até duas interseções (aqui esperamos exatamente duas soluções).
Passo 5
Isolamos
a partir da equação linear:
Agora substituímos essa expressão em
. Para evitar muitos parênteses, vamos usar
. Assim
e
Passo 6
Desenvolvendo a equação do passo anterior:
Multiplicando por
para eliminar o denominador:
Expandindo
:
Juntando termos semelhantes:
Passo 7
Agora substituímos
. Primeiro calcule
:
Então
.
Também calcule
:
Substituindo em
obtém-se:
Multiplicando por
para eliminar frações:
Passo 8
Resolvemos a quadrática pelo discriminante. Para
vale
. Aqui
,
,
. O discriminante é
Calculando:
logo
Extraindo a raiz:
Agora as raízes são
Assim:
Passo 9
Para cada
encontramos
usando
com
.
Para
:
Logo
Para
:
Logo
Observação rápida (checagem): cada vetor obtido tem norma
(pode-se verificar
) e o produto escalar com
dá
, conforme exigido (portanto o ângulo é
). Bom trabalho — você agora tem o padrão: reduzir a condição angular a um produto escalar e resolver a interseção reta-circunferência.