Determine a cota piezométrica no ponto B. A ligação dos dois reservatórios mantidos em niveis constantes é feita pelo sistema de tubulaçõe abaixo. Assumindo um coeficiente de atrito (f) constante e igual a 0.013. Despreze as perdas localizadas e cargas cinéticas. Dados: Conduto 1 (D) =100 mm e L1=540 m), Conduto 2 (D2=150 mm e L2=640 m) e Conduto 3 (D3=200 mm e L3=820 \mathrm{m}). Considere \mathrm{g}=9.81 \mathrm{~ms}^{-2}.
Determine a cota píezométrica no ponto B em metros.

Passo 1

O enunciado pede a cota píezométrica no ponto B. Informações fornecidas (peguei estes números do enunciado e da imagem):
  • Cotas dos reservatórios:
    • Reservatório esquerdo: H_{\text{esq}}=593\\ \mathrm{m}.
    • Reservatório direito: H_{\text{dir}}=573\\ \mathrm{m}.
  • Tubulações (condutos):
    • Conduto 1: D_1=100\\ \mathrm{mm}=0{,}100\\ \mathrm{m}, L_1=540\\ \mathrm{m}.
    • Conduto 2: D_2=150\\ \mathrm{mm}=0{,}150\\ \mathrm{m}, L_2=640\\ \mathrm{m}.
    • Conduto 3: D_3=200\\ \mathrm{mm}=0{,}200\\ \mathrm{m}, L_3=820\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente de atrito: f=0{,}013 (constante).
  • Desprezar perdas localizadas e cargas cinéticas.
  • Aceleração da gravidade: g=9{,}81\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
O que se quer: encontrar a cota píezométrica em B, isto é a altura piezométrica H_B (em metros).

Passo 2

Ideia física e equações que vamos usar (explicação mastigada):
  • Em regime permanente, entre dois pontos conectados: diferença de cotas dos reservatórios é igual à soma das perdas por atrito ao longo do caminho. Usamos a equação de Bernoulli simplificada (reservatórios com superfícies livres e nenhuma perda localizada/energia cinética): H_{\text{esq}}-H_{\text{dir}} = h_{f,\text{esq}\to B} + h_{f,B\to\text{dir}}.
  • Para uma tubulação cheia e fluxos plenamente desenvolvidos, a perda por atrito (fórmula de Darcy–Weisbach) é: h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},onde h_f é perda de carga (m), f é coeficiente de atrito adimensional, L comprimento (m), D diâmetro (m), V velocidade média no conduto (m/s), g gravidade (m/s^2).
  • Relação entre vazão Q e velocidade V: Q = A\,V,\quad A=\frac{\pi D^2}{4}.Substituindo V=Q/A em Darcy–Weisbach obtemos que h_f é proporcional a Q^2: h_f = K\,Q^2,\quad\text{com}\quad K=\frac{f\, (L/D)}{2g\,A^2}.Ou seja, cada conduto i tem uma constante K_i tal que h_{f,i}=K_i Q_i^2.

Passo 3

Relações no nó e equilíbrio de perdas:
  • Os dois condutos 1 e 2 ligam o mesmo par de pontos (reservatório esquerdo e B), logo entre reservatório esquerdo e B as perdas em 1 e em 2 são iguais: h_{f1} = h_{f2}.Como h_{f1}=K_1 Q_1^2 e h_{f2}=K_2 Q_2^2, segue K_1 Q_1^2 = K_2 Q_2^2 \quad\Rightarrow\quad Q_2 = \sqrt{\frac{K_1}{K_2}}\,Q_1.Denotando k=\sqrt{K_1/K_2}, temos Q_2=k Q_1.
  • Conservação de massa em B: vazão que entra por 1 e 2 sai por 3: Q_3 = Q_1 + Q_2 = (1+k)\,Q_1.
  • Queda total de carga entre reservatórios: H_{\text{esq}}-H_{\text{dir}} = h_{f1}+h_{f3} = K_1 Q_1^2 + K_3 Q_3^2.Substituindo Q_3=(1+k)Q_1: H_{\text{esq}}-H_{\text{dir}} = Q_1^2\left( K_1 + K_3(1+k)^2\right).Desta equação podemos obter Q_1, depois Q_2,Q_3 e então H_B.

Passo 4

Cálculo das áreas transversais e constantes K_i (contas passo a passo):
  • Áreas: A_i=\frac{\pi D_i^2}{4}.Calculando numericamente: A_1=\frac{\pi(0{,}100)^2}{4}=0{,}0078539816\\ \mathrm{m^2},
A_2=\frac{\pi(0{,}150)^2}{4}=0{,}0176714587\\ \mathrm{m^2},
A_3=\frac{\pi(0{,}200)^2}{4}=0{,}0314159265\\ \mathrm{m^2}.
  • Constantes K_i: K_i=\frac{f\,(L_i/D_i)}{2g\,A_i^2}.Calculemos cada uma: \frac{L_1}{D_1}=\frac{540}{0{,}100}=5400,\quad \frac{L_2}{D_2}=\frac{640}{0{,}150}=4266{,}6667,\quad \frac{L_3}{D_3}=\frac{820}{0{,}200}=4100.Agora numérico: K_1=\frac{0{,}013\cdot 5400}{2\cdot 9{,}81\cdot (0{,}0078539816)^2}\approx 5{,}8001\times 10^{4},
K_2=\frac{0{,}013\cdot 4266{,}6667}{2\cdot 9{,}81\cdot (0{,}0176714587)^2}\approx 9{,}054\times 10^{3},
K_3=\frac{0{,}013\cdot 4100}{2\cdot 9{,}81\cdot (0{,}0314159265)^2}\approx 2{,}755\times 10^{3}.

Passo 5

Determinar a razão k e resolver para Q_1:
  • Razão entre vazões nos ramos 1 e 2: k=\sqrt{\frac{K_1}{K_2}}\approx \sqrt{\frac{5{,}8001\times10^{4}}{9{,}054\times10^{3}}}\approx 2{,}532.
  • A diferença de cotas dos reservatórios é H_{\text{esq}}-H_{\text{dir}}=593-573=20\\ \mathrm{m}.
  • Equação para Q_1: 20 = Q_1^2\Big(K_1 + K_3(1+k)^2\Big).Calculemos o fator no parêntese: 1+k \approx 3{,}532,\quad (1+k)^2\approx 12{,}48,
K_1 + K_3(1+k)^2 \approx 5{,}8001\times10^{4} + 2{,}755\times10^{3}\times 12{,}48 \approx 9{,}2383\times10^{4}.
Assim
Q_1^2 = \frac{20}{9{,}2383\times10^{4}} \approx 2{,}1648\times10^{-4}\\ \mathrm{(m^6/s^2)},
Q_1 \approx 0{,}01471\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 6

Calcular Q_2,Q_3 e as perdas para obter H_B:
  • Vazões: Q_2 = k Q_1 \approx 2{,}532\cdot 0{,}01471 \approx 0{,}03724\\ \mathrm{m^3/s},
Q_3 = Q_1+Q_2 \approx 0{,}01471 + 0{,}03724 = 0{,}05195\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Perdas: h_{f1}=K_1 Q_1^2 \approx 5{,}8001\times10^{4}\cdot(0{,}01471)^2 \approx 12{,}56\\ \mathrm{m},
h_{f3}=K_3 Q_3^2 \approx 2{,}755\times10^{3}\cdot(0{,}05195)^2 \approx 7{,}44\\ \mathrm{m}.
Verificação: h_{f1}+h_{f3}\approx 12{,}56+7{,}44=20{,}00\\ \mathrm{m} (confere com a diferença de cotas).
  • Agora a cota píezométrica em B: H_B = H_{\text{esq}} - h_{f1} = 593 - 12{,}56 \approx 580{,}44\\ \mathrm{m}.(ou H_B = H_{\text{dir}} + h_{f3} = 573 + 7{,}44 \approx 580{,}44\\ \mathrm{m}, mesma coisa).

Resposta

580{,}44\\ \mathrm{m}

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