1. Determine a força em cada elemento da treliça e indique se esses elementos estão sob tração ou compressão. Considere que \mathrm{P} 1=\mathrm{P} 2=4 \mathrm{kN}.
    Resposta: F C B=8 k N(T), F D E=6,93 k N\text{(C)}, F B E=4 k N\text{(C)}, F C D=6,93 k N\text{(C)}, F D B=4 k N (T), F B A=12 k N(T).

Passo 1

O enunciado pede: determinar a força em cada elemento da treliça e indicar se cada elemento está sob tração (T) ou compressão (C). Foi dado que P_1=P_2=4\\ \text{kN}.
Informações relevantes extraídas do enunciado (peguei estes dados da imagem):
  • A treliça tem nós em E (esquerda, base), D (meio da base), C (direita, base), B (acima de D) e A (na parede, acima de E).
  • Distâncias horizontais na barra inferior: \overline{ED}=3\\ \text{m} e \overline{DC}=3\\ \text{m}.
  • Nos diagonais EB e BC o ângulo com a horizontal é 30^\circ (vide imagem).
  • Forças externas verticais: P_1=4\\ \text{kN} em D (para baixo) e P_2=4\\ \text{kN} em C (para baixo).
A partir daqui vou resolver pelo método dos nós (método de juntas), sabendo que:
  • Os elementos são barras biarticuladas (membros de duas forças): a força em cada membro é aplicada ao longo da linha do membro.
  • Em cada nó aplicamos as equações de equilíbrio estático \sum F_x=0 e \sum F_y=0.

Passo 2

Vamos colocar coordenadas simples (apenas para obter senos/cossenos):
  • Coloco E em (0,0).
  • Então D fica em (3,0) e C em (6,0) (peguei estes valores da imagem).
  • O nó B está acima de D porque \overline{BD} é vertical. A componente horizontal entre E e B é 3 e o ângulo 30^\circ dá a altura de B por:
\text{altura de }B = 3\tan 30^\circ = 3\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\approx1{,}732\\ \text{m}.
Logo B=(3,\sqrt{3}). (Peguei a base 3\\ \text{m} e o ângulo 30^\circ da imagem.)
  • O nó A aparece verticalmente acima de E com distância duas vezes a altura de B (pela figura simétrica), então A=(0,2\sqrt{3}). Essa coordenada será útil ao perceber direções dos membros BA. (Isso também foi obtido observando as geometrias na imagem.)
Observações didáticas rápidas:
  • Para um membro com ângulo \theta em relação à horizontal, a componente horizontal da força F é F\cos\theta e a componente vertical é F\sin\theta. Aqui \sin30^\circ=0{,}5 e \cos30^\circ=\sqrt{3}/2\approx0{,}866.

Passo 3

Começo pelo nó mais simples: o nó C. No nó C atuam:
  • A carga externa para baixo P_2=4\\ \text{kN}.
  • O membro CB inclinado (ângulo 30^\circ acima para a esquerda).
  • O membro CD horizontal.
Desenhe o corpo livre do nó C e escreva equilíbrio:
  • Na vertical: a componente vertical do esforço em CB deve equilibrar P_2. Se F_{CB} for o módulo (tomando sinal positivo para tração), então
F_{CB}\sin 30^\circ - P_2 = 0.
Resolve:
F_{CB} = \frac{P_2}{\sin 30^\circ}=\frac{4}{0{,}5}=8\\ \text{kN}.
Interpretação de sinal: o resultado positivo (no sentido que tomamos) significa que CB está tracionado (puxa o nó C em direção a B). Portanto:
  • F_{CB}=8\\ \text{kN} (Tração).

Passo 4

Ainda no nó C, use equilíbrio horizontal para obter F_{CD}. A componente horizontal do CB (para a esquerda) é
F_{CB}\cos30^\circ = 8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\approx6{,}928\\ \text{kN}.
Para \sum F_x=0 no nó C, a força do membro CD tem que equilibrar essa componente. Assim o módulo de F_{CD} é
F_{CD}=4\sqrt{3}\approx6{,}928\\ \text{kN}.
Quanto à natureza (T ou C): no equilíbrio encontramos que a força em CD atua empurrando o nó C para a direita (isto é, o membro aplica sobre C uma força para a direita). Se ao assumir sinal positivo para tração o membro puxaria C para a esquerda, o resultado oposto indica que o membro está em compressão. Logo:
  • F_{CD}=4\sqrt{3}\approx6{,}93\\ \text{kN} (Compressão).

Passo 5

Passe agora ao nó D. No nó D atuam:
  • A carga externa P_1=4\\ \text{kN} para baixo.
  • O membro DB (vertical).
  • Os membros DE (para a esquerda) e DC (para a direita) — já sabemos que |F_{DC}|=4\sqrt{3} e, pela geometria, F_{DE} deverá ter o mesmo módulo (são a continuidade da barra inferior com duas seções iguais), a determinar o sinal.
Aplicando \sum F_y=0 em D:
  • A única força vertical em D (além de cargas externas) é a força do membro DB. Se F_{DB} for tomado positivo quando em tração (puxando D para cima), então
F_{DB} - P_1 = 0 \quad\Rightarrow\quad F_{DB}=P_1=4\\ \text{kN}.
Interpretação: F_{DB}=4\\ \text{kN} em tração (o membro puxa D para cima e B para baixo).
Agora \sum F_x=0 em D:
F_{DC} - F_{DE} = 0 \quad\Rightarrow\quad F_{DE}=F_{DC}=4\sqrt{3}\approx6{,}928\\ \text{kN}.
Quanto ao tipo (T/C) de DE: da análise no nó D e no nó C concluímos que a força atua empurrando o nó interno — isto é, CD ficou em compressão; por simetria DE também fica em compressão. Portanto:
  • F_{DE}=4\sqrt{3}\approx6{,}93\\ \text{kN} (Compressão).
  • F_{DB}=4\\ \text{kN} (Tração). Isso coincide com a observação direta F_{DB}=P_1.

Passo 6

Agora volte ao nó B. No nó B atuam quatro membros: BA (para a esquerda e para cima), BC (que já sabemos: 8\\ \text{kN}, puxa B para a direita e para baixo), BD (vertical, em tração 4\\ \text{kN}, puxa B para baixo), e BE (para a esquerda e para baixo ou para cima, a definir).
Sejam F_{BA} e F_{BE} os módulos (assumindo positivo para tração, que “puxa o nó B em direção ao outro nó”). Escrevemos equilíbrio em x e y.
Componentes conhecidas:
  • Para BC: horizontal para a direita =8\cos30^\circ=8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}, vertical para baixo =8\sin30^\circ=4.
  • Para BA: direção é 30^\circ acima da horizontal para a esquerda (ângulo de 150^\circ em padrão polar), então suas componentes são: horizontal =-F_{BA}\cos30^\circ, vertical =+F_{BA}\sin30^\circ.
  • Para BE: direção é 30^\circ abaixo da horizontal para a esquerda (de B a E o vetor é para baixo e para esquerda), então se F_{BE} for tração ele puxa B para baixo e para esquerda: horizontal =-F_{BE}\cos30^\circ, vertical =-F_{BE}\sin30^\circ.
  • Para BD: vertical para baixo com magnitude 4\\ \text{kN} (já achado, tração).
Agora escrevemos as equações (tome \cos30^\circ=\sqrt{3}/2 e \sin30^\circ=1/2):
Equilíbrio horizontal ( \sum F_x=0):
- F_{BA}\cos30^\circ - F_{BE}\cos30^\circ + 8\cos30^\circ = 0
Dividindo por \cos30^\circ:
- F_{BA} - F_{BE} + 8 = 0 \quad\Rightarrow\quad F_{BA}+F_{BE}=8. \tag{1}
Equilíbrio vertical ( \sum F_y=0):
+ F_{BA}\sin30^\circ - F_{BE}\sin30^\circ - (8\sin30^\circ) - F_{BD} = 0.
Substitua \sin30^\circ=0{,}5 e 8\sin30^\circ=4, F_{BD}=4:
0{,}5(F_{BA} - F_{BE}) - 4 - 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad 0{,}5(F_{BA} - F_{BE}) - 8 = 0.
Multiplicando por 2:
F_{BA} - F_{BE} = 16. \tag{2}
Agora resolva o sistema (1)-(2):
  • Soma (1)+(2): 2F_{BA} = 24 \Rightarrow F_{BA}=12\\ \text{kN}.
  • Então F_{BE}=8 - F_{BA}=8-12=-4\\ \text{kN}.
Interpretação dos sinais:
  • F_{BA}=12\\ \text{kN} positivo segundo nossa convenção → o membro BA está em tração: 12\\ \text{kN} (T).
  • F_{BE}=-4\\ \text{kN} negativo → o sinal oposto ao da tração assumida, isto é, o membro está em compressão com módulo 4\\ \text{kN}: 4\\ \text{kN} (C).

Passo 7

Resumo das forças (valores e naturezas), arredondando 4\sqrt{3}\approx6{,}93\\ \text{kN}:
  • F_{CB}=8\\ \text{kN} (Tração).
  • F_{DE}=4\sqrt{3}\approx6{,}93\\ \text{kN} (Compressão).
  • F_{BE}=4\\ \text{kN} (Compressão).
  • F_{CD}=4\sqrt{3}\approx6{,}93\\ \text{kN} (Compressão).
  • F_{DB}=4\\ \text{kN} (Tração).
  • F_{BA}=12\\ \text{kN} (Tração).

Resposta

F_{CB}=8\\ \text{kN}\\ (T)
F_{DE}=6{,}93\\ \text{kN}\\ \text{(C)}
F_{BE}=4\\ \text{kN}\\ \text{(C)}
F_{CD}=6{,}93\\ \text{kN}\\ \text{(C)}
F_{DB}=4\\ \text{kN}\\ (T)
F_{BA}=12\\ \text{kN}\\ (T)

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