- Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no ponto A do exercício anterior. Represente as tensões em um elemento devidamente orientado.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no ponto
do exercício anterior, e representar as tensões num elemento orientado.
Informações que o enunciado atual me deu: nenhuma (o exercício anterior não foi enviado).
Informações que o enunciado atual me deu: nenhuma (o exercício anterior não foi enviado).
Informações necessárias e que estão faltando (sem elas não há como calcular numericamente):
- Se o problema é de tensão plana (2D) ou tensão tridimensional (3D).
- Os valores das componentes do estado de tensões no ponto
. Para o caso 2D (mais comum em exercícios): são necessários , e . Para o caso 3D seriam necessárias , , , , , . - (Opcional) Unidades e sinal convensão usadas no enunciado (tensão de tração positiva/negativa).
Como o enunciado não trouxe esses dados, não é possível obter valores numéricos específicos para as tensões em
. Abaixo eu explico passo a passo como resolver o problema assim que esses dados estiverem disponíveis, mostrando as fórmulas, a dedução e um exemplo numérico ilustrativo.
Passo 2
Conceito rápido e objetivo de prova: tensões principais são os valores de tensão normal que atuam em planos onde a tensão de cisalhamento é nula. A tensão de cisalhamento máxima é o maior valor absoluto de cisalhamento que ocorre em algum plano passando pelo ponto; em 2D ela vale metade da diferença entre as tensões principais. Entender isso: em prova costuma cair uma aplicação direta das fórmulas abaixo, então decorá-las e saber aplicá-las passo a passo é essencial.
Passo 3
Modelo de 2D (tensão plana) — representação e notação. No ponto
, supondo estado plano, as componentes do tensor de tensões no sistema de eixos
são:
Explicando cada símbolo:
-
: tensão normal na face perpendicular ao eixo (positiva se tração, pela convenção), -
: tensão normal na face perpendicular ao eixo , -
: tensão de cisalhamento atuando na face normal a com direção (mesmo valor da componente oposta se equilíbrio de momentos for assumido).
Passo 4
Derivação curta (método do valor próprio / equação característica) para tensões principais em 2D. Procuramos valores
tais que exista um vetor de direção em que a tensão de cisalhamento seja zero, isto é, resolvemos
Calculando o determinante obtemos a equação quadrática
que se reescreve como
As raízes
dessa equação são as tensões principais
e
.
Passo 5
Fórmulas finais (aplicáveis em prova para 2D). Das soluções da quadrática vem diretamente:
Explicando:
- A média
é o centro do círculo de Mohr. - O termo sob a raiz é o quadrado do raio do círculo de Mohr; chama-se
.
A tensão de cisalhamento máxima em módulo (no caso 2D) é
Note que também vale a relação
Orientação dos planos principais: o ângulo
entre o eixo
e o primeiro plano principal satisfaz
Interpretação rápida: calcule
e então
é metade desse valor; atenção ao quadrante correto ao usar arctan.
Passo 6
Mohr’s circle — procedimento construtivo (útil em prova para visualização e checagem):
- No plano (
, ) marque o ponto e o ponto . - O centro do círculo é
. - O raio é
. - Intersecções do círculo com o eixo
dão e . - A abscissa do ponto sobre o círculo que corresponde ao ângulo físico
(orientação do plano) fica relacionada por no círculo (rotacão dupla).
Mohr é excelente para checar algébrica e para desenhar o elemento orientado a partir de coordenadas no círculo.
Passo 7
Exemplo numérico ilustrativo (não é o seu ponto A — é só para ver os passos de conta na prática). Suponha que, numa situação qualquer:
- Calcular a média:
- Calcular o termo dentro da raiz:
- Raiz:
- Tensões principais:
- Tensão de cisalhamento máxima:
que também satisfaz
.
6) Ângulo dos planos principais:
6) Ângulo dos planos principais:
Esses cálculos mostram passo a passo como proceder em prova: média, termo sob a raiz, raiz, soma/subtração para
, e ângulo pela tangente dupla.
Passo 8
Como representar num elemento orientado (passos práticos para desenhar):
- Desenhe um pequeno quadrado para o elemento de matéria no ponto
. - Se já calculou
, gire o elemento em no sentido apropriado (sentido convensão do seu enunciado) para alinhar um dos lados com o plano principal 1. - Nas faces desse elemento orientado as tensões de cisalhamento são nulas; então represente apenas as tensões normais
e agindo perpendicularmente às faces (sinais conforme tração/Compressão). Normalmente coloca-se na face que corta no sentido do maior valor (se positivo, puxando para fora; se negativo, empurrando para dentro). - Para representar o plano de máxima cisalhamento, desenhe um elemento girado de
: nesse elemento as tensões normais valem a média e as tensões cortantes nas faces valem .
Dica para prova: deixe claro no desenho as setas (direção e sentido), escreva os valores numéricos ao lado e indique o ângulo
medido a partir do eixo
.
Passo 9
Resumo rápido do procedimento que você deve executar quando tiver os dados do ponto
:
- Identificar se é caso 2D ou 3D.
- Se 2D: anotar
, , . - Calcular média
. - Calcular
. - Obter
. - Obter
e por . - Desenhar elemento orientado com
, (cisalhamento zero) e, se desejar, o elemento de .
Força aí — quando você colar os valores de
,
e
(ou a figura / o exercício anterior), eu resolvo passo a passo com cálculo numérico, desenho do elemento orientado e verificação com o círculo de Mohr.
Resposta
Não é possível determinar numericamente as tensões principais nem a tensão de cisalhamento máxima porque o enunciado não forneceu os valores das componentes de tensão no ponto
. São necessários, no mínimo, para o caso plano:
,
e
(ou, se for 3D, todas as componentes do tensor de tensões).