1. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no ponto A do exercício anterior. Represente as tensões em um elemento devidamente orientado.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no ponto A do exercício anterior, e representar as tensões num elemento orientado.
Informações que o enunciado atual me deu: nenhuma (o exercício anterior não foi enviado).
Informações necessárias e que estão faltando (sem elas não há como calcular numericamente):
  • Se o problema é de tensão plana (2D) ou tensão tridimensional (3D).
  • Os valores das componentes do estado de tensões no ponto A. Para o caso 2D (mais comum em exercícios): são necessários \sigma_x, \sigma_y e \tau_{xy}. Para o caso 3D seriam necessárias \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z, \tau_{xy}, \tau_{xz}, \tau_{yz}.
  • (Opcional) Unidades e sinal convensão usadas no enunciado (tensão de tração positiva/negativa).
Como o enunciado não trouxe esses dados, não é possível obter valores numéricos específicos para as tensões em A. Abaixo eu explico passo a passo como resolver o problema assim que esses dados estiverem disponíveis, mostrando as fórmulas, a dedução e um exemplo numérico ilustrativo.

Passo 2

Conceito rápido e objetivo de prova: tensões principais são os valores de tensão normal que atuam em planos onde a tensão de cisalhamento é nula. A tensão de cisalhamento máxima é o maior valor absoluto de cisalhamento que ocorre em algum plano passando pelo ponto; em 2D ela vale metade da diferença entre as tensões principais. Entender isso: em prova costuma cair uma aplicação direta das fórmulas abaixo, então decorá-las e saber aplicá-las passo a passo é essencial.

Passo 3

Modelo de 2D (tensão plana) — representação e notação. No ponto A, supondo estado plano, as componentes do tensor de tensões no sistema de eixos (x,y) são:
\begin{pmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} \\\ \tau_{xy} & \sigma_y \end{pmatrix}
Explicando cada símbolo:
  • \sigma_x: tensão normal na face perpendicular ao eixo x (positiva se tração, pela convenção),
  • \sigma_y: tensão normal na face perpendicular ao eixo y,
  • \tau_{xy}: tensão de cisalhamento atuando na face normal a x com direção y (mesmo valor da componente oposta \tau_{yx} se equilíbrio de momentos for assumido).

Passo 4

Derivação curta (método do valor próprio / equação característica) para tensões principais em 2D. Procuramos valores \lambda tais que exista um vetor de direção em que a tensão de cisalhamento seja zero, isto é, resolvemos
\det\!\begin{pmatrix} \sigma_x-\lambda & \tau_{xy} \\\ \tau_{xy} & \sigma_y-\lambda \end{pmatrix}=0.
Calculando o determinante obtemos a equação quadrática
(\sigma_x-\lambda)(\sigma_y-\lambda)-\tau_{xy}^2=0,
que se reescreve como
\lambda^2-(\sigma_x+\sigma_y)\lambda+(\sigma_x\sigma_y-\tau_{xy}^2)=0.
As raízes \lambda dessa equação são as tensões principais \sigma_1 e \sigma_2.

Passo 5

Fórmulas finais (aplicáveis em prova para 2D). Das soluções da quadrática vem diretamente:
\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}.
Explicando:
  • A média \dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2} é o centro do círculo de Mohr.
  • O termo sob a raiz é o quadrado do raio do círculo de Mohr; chama-se R^2.
A tensão de cisalhamento máxima em módulo (no caso 2D) é
\tau_{\max}=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}.
Note que também vale a relação
\tau_{\max}=\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}.
Orientação dos planos principais: o ângulo \theta_p entre o eixo x e o primeiro plano principal satisfaz
\tan 2\theta_p=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}.
Interpretação rápida: calcule 2\theta_p=\arctan\!\left(\dfrac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}\right) e então \theta_p é metade desse valor; atenção ao quadrante correto ao usar arctan.

Passo 6

Mohr’s circle — procedimento construtivo (útil em prova para visualização e checagem):
  1. No plano ( \sigma, \tau) marque o ponto P_x=(\sigma_x,\;\tau_{xy}) e o ponto P_y=(\sigma_y,\;-\tau_{xy}).
  2. O centro do círculo é C=\left(\dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2},\;0\right).
  3. O raio é R=\tau_{\max}=\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}.
  4. Intersecções do círculo com o eixo \tau=0 dão \sigma_1 e \sigma_2.
  5. A abscissa do ponto sobre o círculo que corresponde ao ângulo físico \theta (orientação do plano) fica relacionada por 2\theta no círculo (rotacão dupla).
Mohr é excelente para checar algébrica e para desenhar o elemento orientado a partir de coordenadas no círculo.

Passo 7

Exemplo numérico ilustrativo (não é o seu ponto A — é só para ver os passos de conta na prática). Suponha que, numa situação qualquer:
\sigma_x=60\\ \text{MPa},\qquad \sigma_y=20\\ \text{MPa},\qquad \tau_{xy}=30\\ \text{MPa}.
  1. Calcular a média:
\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}=\frac{60+20}{2}=40\\ \text{MPa}.
  1. Calcular o termo dentro da raiz:
\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2=\left(\frac{60-20}{2}\right)^2+30^2=20^2+30^2=400+900=1300.
  1. Raiz:
R=\sqrt{1300}\approx36,06\\ \text{MPa}.
  1. Tensões principais:
\sigma_1=40+36,06\approx76,06\\ \text{MPa}, \qquad \sigma_2=40-36,06\approx3,94\\ \text{MPa}.
  1. Tensão de cisalhamento máxima:
\tau_{\max}=R\approx36,06\\ \text{MPa},
que também satisfaz \tau_{\max}=(\sigma_1-\sigma_2)/2.
6) Ângulo dos planos principais:
\tan 2\theta_p=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}=\frac{60}{40}=1{,}5,
2\theta_p=\arctan(1{,}5)\approx56{,}31^\circ,\qquad \theta_p\approx28{,}15^\circ.
Esses cálculos mostram passo a passo como proceder em prova: média, termo sob a raiz, raiz, soma/subtração para \sigma_1,\sigma_2, e ângulo pela tangente dupla.

Passo 8

Como representar num elemento orientado (passos práticos para desenhar):
  1. Desenhe um pequeno quadrado para o elemento de matéria no ponto A.
  2. Se já calculou \theta_p, gire o elemento em \theta_p no sentido apropriado (sentido convensão do seu enunciado) para alinhar um dos lados com o plano principal 1.
  3. Nas faces desse elemento orientado as tensões de cisalhamento são nulas; então represente apenas as tensões normais \sigma_1 e \sigma_2 agindo perpendicularmente às faces (sinais conforme tração/Compressão). Normalmente coloca-se \sigma_1 na face que corta no sentido do maior valor (se positivo, puxando para fora; se negativo, empurrando para dentro).
  4. Para representar o plano de máxima cisalhamento, desenhe um elemento girado de \theta_p+45^\circ: nesse elemento as tensões normais valem a média \dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2} e as tensões cortantes nas faces valem \pm\tau_{\max}.
Dica para prova: deixe claro no desenho as setas (direção e sentido), escreva os valores numéricos ao lado e indique o ângulo \theta_p medido a partir do eixo x.

Passo 9

Resumo rápido do procedimento que você deve executar quando tiver os dados do ponto A:
  1. Identificar se é caso 2D ou 3D.
  2. Se 2D: anotar \sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}.
  3. Calcular média \dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2}.
  4. Calcular R=\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}.
  5. Obter \sigma_{1,2}=\dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm R.
  6. Obter \tau_{\max}=R e \theta_p por \tan 2\theta_p=\dfrac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}.
  7. Desenhar elemento orientado com \sigma_1, \sigma_2 (cisalhamento zero) e, se desejar, o elemento de \pm\tau_{\max}.
Força aí — quando você colar os valores de \sigma_x, \sigma_y e \tau_{xy} (ou a figura / o exercício anterior), eu resolvo passo a passo com cálculo numérico, desenho do elemento orientado e verificação com o círculo de Mohr.

Resposta

Não é possível determinar numericamente as tensões principais nem a tensão de cisalhamento máxima porque o enunciado não forneceu os valores das componentes de tensão no ponto A. São necessários, no mínimo, para o caso plano: \sigma_x, \sigma_y e \tau_{xy} (ou, se for 3D, todas as componentes do tensor de tensões).

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