Determine as curvas de grade das superfícies dadas, nos pontos indicados (encontre
e
correspondente ao ponto):
Passo 1
O enunciado fornece a parametrização da superfície
com
, e pede: encontrar os valores
tais que
para o ponto
e determinar as curvas de grade (as curvas coordenadas
constante e
constante) da superfície que passam por esse ponto. As informações relevantes são as três componentes de
e as coordenadas de
. A resolução prossegue encontrando primeiro
e
, depois escrevendo explicitamente as curvas de grade que passam por
.
Passo 2
Usamos a terceira componente da parametrização para achar
. A terceira componente dá
Como no ponto
temos
, obtemos
Como o domínio exige
, escolhemos a raiz positiva. Logo
Passo 3
Agora usamos as duas primeiras componentes para achar
. Temos as equações
No ponto
temos
e
. Substituindo
obtemos
Dividindo a segunda pela primeira (ou observando os valores), obtemos
e as duas equações dão simultaneamente
. Assim
(esse valor está no intervalo
).
Passo 4
Agora escrevemos as curvas de grade gerais (antes de fixar
). As curvas de grade são:
- Curvas com
constante (varia ): parametrização
onde
é constante. Em coordenadas cartesianas essa curva satisfaz
Ou seja: interseção da superfície com o plano horizontal
é um círculo de raio
(aqui
).
Passo 5
Aplicando
obtemos a curva de grade
que passa por
:
- parametrização
- equações cartesianas
Geometricamente: é um círculo de raio
no plano horizontal
, passando por
.
Passo 6
Agora a curva com
constante (varia
) tem parametrização geral
onde
é constante. Essa curva está contida no plano vertical que passa pela origem com equação linear
(ou
se
). Eliminando
podemos escrever (quando
):
junto com
. Ou seja, é uma parábola no plano vertical formando um “meridiano” da superfície.
Passo 7
Aplicando
obtemos a curva de grade
que passa por
:
- parametrização
- eliminando
: como (porque ), temos e
com a restrição
. Portanto a curva é a parábola
no plano vertical
. Essa parábola passa por
quando
(então
).
Passo 8
Para ajudar no entendimento de tangentes: os vetores tangentes às curvas coordenadas são as derivadas parciais
Avaliando em
obtemos
Aqui
é tangente à parábola
e
é tangente ao círculo
.
Resposta
Curva de grade
Curva de grade