Determine as curvas de grade das superfícies dadas, nos pontos indicados (encontre u_{0} e v_{0} correspondente ao ponto):
\vec{r}(u, v)=\left(u \cos (v), u \operatorname{sen}(v), u^{2}\right), 0 \leq u \leq 2,0 \leq v \leq 2 \pi, P=(1,1,2)

Passo 1

O enunciado fornece a parametrização da superfície
\vec{r}(u,v)=\bigl(u\cos(v),\;u\sin(v),\;u^{2}\bigr),
com 0\le u\le 2,\;0\le v\le 2\pi, e pede: encontrar os valores (u_{0},v_{0}) tais que \vec{r}(u_{0},v_{0})=P para o ponto P=(1,1,2) e determinar as curvas de grade (as curvas coordenadas u= constante e v= constante) da superfície que passam por esse ponto. As informações relevantes são as três componentes de \vec{r}(u,v) e as coordenadas de P. A resolução prossegue encontrando primeiro u_{0} e v_{0}, depois escrevendo explicitamente as curvas de grade que passam por P.

Passo 2

Usamos a terceira componente da parametrização para achar u_{0}. A terceira componente dá \;u^{2}=z\;. Como no ponto P temos z=2, obtemos
u^{2}=2.
Como o domínio exige 0\le u\le 2, escolhemos a raiz positiva. Logo
u_{0}=\sqrt{2}.

Passo 3

Agora usamos as duas primeiras componentes para achar v_{0}. Temos as equações
u\cos(v)=x,\qquad u\sin(v)=y.
No ponto P temos x=1 e y=1. Substituindo u_{0}=\sqrt{2} obtemos
\sqrt{2}\cos(v)=1,\qquad \sqrt{2}\sin(v)=1.
Dividindo a segunda pela primeira (ou observando os valores), obtemos
\tan(v)=\frac{1}{1}=1,
e as duas equações dão simultaneamente \cos(v)=\sin(v)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Assim
v_{0}=\frac{\pi}{4}
(esse valor está no intervalo 0\le v\le 2\pi).

Passo 4

Agora escrevemos as curvas de grade gerais (antes de fixar u_{0},v_{0}). As curvas de grade são:
  • Curvas com u= constante (varia v): parametrização
\vec{r}(u_{c},v)=\bigl(u_{c}\cos(v),\;u_{c}\sin(v),\;u_{c}^{2}\bigr),
onde u_{c} é constante. Em coordenadas cartesianas essa curva satisfaz
x^{2}+y^{2}=u_{c}^{2},\qquad z=u_{c}^{2}.
Ou seja: interseção da superfície com o plano horizontal z=u_{c}^{2} é um círculo de raio |u_{c}| (aqui u_{c}\ge0).

Passo 5

Aplicando u_{c}=u_{0}=\sqrt{2} obtemos a curva de grade u=\sqrt{2} que passa por P:
  • parametrização
\vec{r}\!\left(\sqrt{2},v\right)=\bigl(\sqrt{2}\cos(v),\;\sqrt{2}\sin(v),\;2\bigr),\quad 0\le v\le 2\pi.
  • equações cartesianas
x^{2}+y^{2}=2,\qquad z=2.
Geometricamente: é um círculo de raio \sqrt{2} no plano horizontal z=2, passando por P.

Passo 6

Agora a curva com v= constante (varia u) tem parametrização geral
\vec{r}(u,v_{c})=\bigl(u\cos(v_{c}),\;u\sin(v_{c}),\;u^{2}\bigr),
onde v_{c} é constante. Essa curva está contida no plano vertical que passa pela origem com equação linear y=(\tan v_{c})\,x (ou x=0 se \cos v_{c}=0). Eliminando u podemos escrever (quando \cos v_{c}\neq 0):
u=\frac{x}{\cos(v_{c})}\quad\Rightarrow\quad z=u^{2}=\frac{x^{2}}{\cos^{2}(v_{c})},
junto com y=(\tan v_{c})x. Ou seja, é uma parábola no plano vertical formando um “meridiano” da superfície.

Passo 7

Aplicando v_{c}=v_{0}=\dfrac{\pi}{4} obtemos a curva de grade v=\dfrac{\pi}{4} que passa por P:
  • parametrização
\vec{r}\!\left(u,\frac{\pi}{4}\right)=\bigl(u\frac{\sqrt{2}}{2},\;u\frac{\sqrt{2}}{2},\;u^{2}\bigr),\quad 0\le u\le 2.
  • eliminando u: como x=y (porque \cos v_{0}=\sin v_{0}), temos u=\dfrac{x}{\cos(\pi/4)}=x\sqrt{2} e
z=u^{2}=2x^{2},
com a restrição y=x. Portanto a curva é a parábola
z=2x^{2},\qquad y=x,
no plano vertical y=x. Essa parábola passa por P quando x=1 (então z=2).

Passo 8

Para ajudar no entendimento de tangentes: os vetores tangentes às curvas coordenadas são as derivadas parciais
\vec{r}_{u}=\frac{\partial\vec{r}}{\partial u}=(\cos v,\;\sin v,\;2u), \qquad \vec{r}_{v}=\frac{\partial\vec{r}}{\partial v}=(-u\sin v,\;u\cos v,\;0).
Avaliando em (u_{0},v_{0})=(\sqrt{2},\pi/4) obtemos
\vec{r}_{u}(u_{0},v_{0})=\Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\;\tfrac{\sqrt{2}}{2},\;2\sqrt{2}\Bigr), \qquad \vec{r}_{v}(u_{0},v_{0})=(-1,\;1,\;0).
Aqui \vec{r}_{u}(u_{0},v_{0}) é tangente à parábola v=\pi/4 e \vec{r}_{v}(u_{0},v_{0}) é tangente ao círculo u=\sqrt{2}.

Resposta

u_{0}=\sqrt{2},\;v_{0}=\dfrac{\pi}{4}\n
Curva de grade u=\sqrt{2}: \vec{r}\!\left(\sqrt{2},v\right)=\bigl(\sqrt{2}\cos v,\;\sqrt{2}\sin v,\;2\bigr) \Rightarrow x^{2}+y^{2}=2,\;z=2\n
Curva de grade v=\dfrac{\pi}{4}: \vec{r}\!\left(u,\dfrac{\pi}{4}\right)=\bigl(u\tfrac{\sqrt{2}}{2},\;u\tfrac{\sqrt{2}}{2},\;u^{2}\bigr) \Rightarrow y=x,\;z=2x^{2}

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